FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEMEC

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEMEC

Projeto Final – Cálculo Numérico

Alunos – Crystian Fernandes, Pablo Gallo, Daniel Porto, Alexandre Marson, Wellington Amorim

Resumo

A grande maioria dos problemas matemáticos presentes no cotidiano de um engenheiro não possui uma solução analítica. Uma das formas de contorno dessa adversidade é a aplicação        de análise numérica. Em geral, os algoritmos numéricos se dividem em diretos, recursivos e iterativos. E é com base nos métodos iterativos de Newton e da bissecção que o relatório se sustentará.

1. Introdução

O problema abordado é uma das aplicações mais comuns na engenharia, onde em uma construção civil há presença de inúmeras forças atuantes sobre uma viga estrutural. Para entender o comportamento desses esforços, é feito um recorte na seção desta viga de tamanho infinitesimal, isto é possível pois os mesmos esforços atuam em todas N seções da estrutura.

O corpo infinitesimal está sujeito a tensões provenientes de diversas direções como representado na figura a seguir:

[pic 1]

                                       

                                    Figura 1 – Corpo infinitesimal

Para que seja possível realizar cálculos estruturais mais exatos é necessário encontrar um eixo local X’ Y’ Z’ de forma que consiga medir o estado triplo de tensão que o sólido está sofrendo. Isto se deve pois podem existir tensões normais e cisalhantes maiores que as que surgem neste plano inicial de corte.

[pic 2]

                                Figura 2 – Corpo infinitesimal no eixo desejado

O cálculo das tensões principais deste novo plano gerado é necessário encontrar raízes de polinômios com grau maior que 2. Onde que se feito de método analítico se torna um processo trabalhoso e improdutivo. Com isto, os métodos iterativos de zero de funções se tornam uma ferramenta poderosa para a engenharia. Neste projeto será abordado dois métodos, o da bissecção e o método de Newton, aplicando-os em um caso de estado triplo de tensão.

1. Método da Bissecção

É um método simples e eficaz e que exige pouco da função f(x) contudo é um método lento podendo exigir um custo computacional elevado de acordo com o problema abordado. Para que seja aplicado exige alguns pré-requisitos:

• A função deve ser contínua no intervalo abordado.
• Os sinais da f(x) nos extremos do intervalo devem ser contrários.
• Dentro do intervalo deve existir um único x’ tal que f(x’) = 0.

1. Apresentação de resultados

O problema abordado possui a seguinte função:

x³ - 20 x² - 23600 x +984000

Onde que pelo método da bissecção indicou as seguintes raízes com as respectivas quantidades de iterações e intervalos:

[pic 3]

Tabela 1 – Resultados Método da Bissecção

1. Método de Newton Raphson

É um método com uma convergência mais rápida do que o método da bissecção porém exige mais pré-requisitos, tais como:

• Os sinais da f(x) nos extremos do intervalo devem ser contrários.
• Dentro do intervalo deve existir um único x’ tal que f(x’) = 0.
• As funções f(x) e f ’(x) devem ser contínuas no intervalo.
• f ‘(x) ≠ 0, para todo x pertencente ao intervalo.

Na qual a função de iteração é dada por:

[pic 4]

1. Apresentação de resultados

O método apresentou as seguintes raízes e quantidade de iterações de acordo com as respectivas aproximações iniciais:

[pic 5]

        

                Tabela 2 – Resultados Método de Newton Raphson

1.  Comparação de Resultados

As raízes calculadas pelo método da bissecção, Newton Raphson e raízes adquiridas através do software Symbolab (Considerando que seja um software mais preciso que os métodos utilizados) constam na seguinte tabela:

        [pic 6]

        Tabela 3 – Comparação dos resultados