FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEMEC
Por: Crystian Fernandes • 11/8/2020 • Relatório de pesquisa • 1.006 Palavras (5 Páginas) • 207 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEMEC
Projeto Final – Cálculo Numérico
Alunos – Crystian Fernandes, Pablo Gallo, Daniel Porto, Alexandre Marson, Wellington Amorim
Resumo
A grande maioria dos problemas matemáticos presentes no cotidiano de um engenheiro não possui uma solução analítica. Uma das formas de contorno dessa adversidade é a aplicação de análise numérica. Em geral, os algoritmos numéricos se dividem em diretos, recursivos e iterativos. E é com base nos métodos iterativos de Newton e da bissecção que o relatório se sustentará.
- Introdução
O problema abordado é uma das aplicações mais comuns na engenharia, onde em uma construção civil há presença de inúmeras forças atuantes sobre uma viga estrutural. Para entender o comportamento desses esforços, é feito um recorte na seção desta viga de tamanho infinitesimal, isto é possível pois os mesmos esforços atuam em todas N seções da estrutura.
O corpo infinitesimal está sujeito a tensões provenientes de diversas direções como representado na figura a seguir:
[pic 1]
Figura 1 – Corpo infinitesimal
Para que seja possível realizar cálculos estruturais mais exatos é necessário encontrar um eixo local X’ Y’ Z’ de forma que consiga medir o estado triplo de tensão que o sólido está sofrendo. Isto se deve pois podem existir tensões normais e cisalhantes maiores que as que surgem neste plano inicial de corte.
[pic 2]
Figura 2 – Corpo infinitesimal no eixo desejado
O cálculo das tensões principais deste novo plano gerado é necessário encontrar raízes de polinômios com grau maior que 2. Onde que se feito de método analítico se torna um processo trabalhoso e improdutivo. Com isto, os métodos iterativos de zero de funções se tornam uma ferramenta poderosa para a engenharia. Neste projeto será abordado dois métodos, o da bissecção e o método de Newton, aplicando-os em um caso de estado triplo de tensão.
- Método da Bissecção
É um método simples e eficaz e que exige pouco da função f(x) contudo é um método lento podendo exigir um custo computacional elevado de acordo com o problema abordado. Para que seja aplicado exige alguns pré-requisitos:
- A função deve ser contínua no intervalo abordado.
- Os sinais da f(x) nos extremos do intervalo devem ser contrários.
- Dentro do intervalo deve existir um único x’ tal que f(x’) = 0.
- Apresentação de resultados
O problema abordado possui a seguinte função:
x³ - 20 x² - 23600 x +984000
Onde que pelo método da bissecção indicou as seguintes raízes com as respectivas quantidades de iterações e intervalos:
[pic 3]
Tabela 1 – Resultados Método da Bissecção
- Método de Newton Raphson
É um método com uma convergência mais rápida do que o método da bissecção porém exige mais pré-requisitos, tais como:
- Os sinais da f(x) nos extremos do intervalo devem ser contrários.
- Dentro do intervalo deve existir um único x’ tal que f(x’) = 0.
- As funções f(x) e f ’(x) devem ser contínuas no intervalo.
- f ‘(x) ≠ 0, para todo x pertencente ao intervalo.
Na qual a função de iteração é dada por:
[pic 4]
- Apresentação de resultados
O método apresentou as seguintes raízes e quantidade de iterações de acordo com as respectivas aproximações iniciais:
[pic 5]
Tabela 2 – Resultados Método de Newton Raphson
- Comparação de Resultados
As raízes calculadas pelo método da bissecção, Newton Raphson e raízes adquiridas através do software Symbolab (Considerando que seja um software mais preciso que os métodos utilizados) constam na seguinte tabela:
[pic 6]
Tabela 3 – Comparação dos resultados
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