Fisica

DERIVADA

Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t – 2. Calcule a sua velocidade no instante t0 = 2. (Unidades SI)

Sejam f a função e p um ponto de seu domínio do gráfico a seguir:

 [pic 2][pic 3][pic 1]

Então:

Diante dessa situação, podemos concluir que:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

É o limite mais importante que ocorre na matemática, e seu valor, quando existe, é indicado por f’(p) (leia: f linha de p) e é denominado derivada da f em p:[pic 9]

[pic 10]

Este limite aparece de forma natural quando se procura definir reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). O quociente [pic 11], chamado às vezes de razão incremental, nada mais é do que o coeficiente angular da reta s que passa pelos pontos M = (p, f(p)) e N = (p + h, f(p + h)) do gráfico y = f(x).

[pic 12]

A reta s tem equação igual a y – y0 = m(x – x0), nesse caso será

y – f(p) = ms(x – p)

Onde [pic 13],quando h tende a zero, o ponto N vai se aproximando cada vez mais de M, e a reta s vai tendendo para a posição da reta T de equação:

y – f(p) = f ’(p)(x – p)

A reta T é denominada reta tangente ao gráfico de f, no ponto (p, f(p)).

Resolução da questão inicial

A velocidade no instante t0 = 2 é igual à derivada de s no instante t0:

[pic 14]

Sejam f uma função  e p um ponto de seu domínio. Limites do tipo:

[pic 15]

Consideremos, por exemplo, o problema de definir reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Evidentemente, tal reta deve passar pelo ponto (p, f(p)), assim a reta tangente fica determinada se dissermos qual deve ser seu coeficiente angular. Consideremos, então, a reta sx que passa pelos pontos (p, f(p)) e (x, f(x)).

[pic 16]

O coeficiente angular da reta é [pic 17].Quando x tende a p, o coeficiente angular da reta sx tende a f ‘(p), onde [pic 18]. Observe que f ‘(p) é apenas uma notação para indicar o valor do limite acima. Assim, à medida que x vai se aproximando de p, a reta sx vai tendendo para a posição T de equação [pic 19].

[pic 20]

É natural, então, definir a reta tangente em (p, f(p)) como senda a reta de equação acima. Suponhamos, agora, que s = f(t) seja a equação horária do movimento de uma partícula vinculada a uma reta orientada na qual se escolheu uma origem. Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a abscissa ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da partícula entre os instantes t0 e t é definida pelo quociente:

[pic 21]

A velocidade (instantânea) da partícula no instante t0 é definida como sendo o limite de:

[pic 22]

Definição da Derivada de uma função:

Sejam f um função e p um ponto de seu domínio. O limite [pic 23], quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se f ‘(p) é: [pic 24]. Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p.

Exemplos 1. Seja f(x) = x2. Calcule f ‘(x); f ‘(1) e f ‘ (-3)

Resolução

[pic 25]

[pic 26]

f’(-3) = ?

Exemplo 2. Qual é a equação da reta tangente à curva y = x2 – 3x no seu ponto de abscissa 4?

Seja a equação da reta igual a [pic 27], o x0 = 4, precisamos encontrar o y0, é só fazer a substituição na equação da curva. Temos y = x2 – 3x = y = 42 – 3.4 = 4, portanto y0 = 4

[pic 28]

O coeficiente angular da reta é 5 e sua equação é [pic 29]

Exemplo 3. Seja [pic 30], calcule f ‘(2), f ‘ (x)

[pic 31]

[pic 32]

Exercícios

1. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule:

1. f’(1)        b) f’(0)         c) f’(x)

Resp: a) 2       b)             c) 2x

1. Seja f(x) = 2x, determine f’(x) pela definição de limite.

Resp: 2

1. Seja f(x) = 3x + 2. Calcule: a) f’(2)          b) f’(0)       c) f’(x)

Resp: a) 3          b) 3             c) 3

1. Calcule f’(x), pela definição, sendo dados:

1. f(x) x2 + x e p = 1   resp: 3
2. [pic 33] e p = 1    resp: - 1
3. [pic 34] e p = 2  resp: [pic 35]

1. Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:

1. f(x) = x2 e p = 2   resp: 4x – 4
2. f(x) = 3x2 + 2x – 1 e p = -1 resp: y = 16 – 4x

1. Calcule f’(x) pela definição

1. f(x) = x2 + x      resp: 2x + 1
2. f(x) = x3        resp: 3x2
3. [pic 36]      resp: [pic 37]
4. f(x) = 3x + 1       resp: 3
5. [pic 38]         resp: [pic 39]

Regras de derivação

FUNÇÃO	DERIVADA
[pic 40]	y’ = 0
[pic 41]	y’ = a
[pic 42]	[pic 43]
[pic 44]	[pic 45]
[pic 46]	[pic 47]
[pic 48]	[pic 49]
[pic 50]	[pic 51]
[pic 52]	[pic 53]
[pic 54]	[pic 55]
[pic 56]	[pic 57]
[pic 58]	[pic 59]
[pic 60]	[pic 61]
[pic 62]	[pic 63]
[pic 64]	[pic 65]
[pic 66]	[pic 67]
[pic 68]	[pic 69]
[pic 70]	[pic 71]
[pic 72]	[pic 73] regra da cadeia ou derivada da função composta
[pic 74]	[pic 75]
[pic 76]	[pic 77]
[pic 78]	[pic 79]