Função Das Derivadas

Etapa 4 - Passo 2

Principais aspectos sobre o conceito de Derivadas

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f

em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:

Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Dx = x1 - x0, e a variação de y é dada por Dy = f(x1)- f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:

Taxa de Variação Média

A taxa de variação média de uma variável dependente, em relação a uma variável independente é dada pela razão:

M=variação em custo/variação em produção

Nesse exemplo, por tratar-se de uma função de 1°, a taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente tal função.

Porém a taxa de variação média não é exclusiva das funções de 1°, pode ser calculada para qualquer função.

Taxa de Variação Média em um Intervalo

A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que na prática, têm unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.

Taxa de Variação Instantânea

Pode-se calcular a taxa de variação para um instante específico e, ao calcular tal taxa, ter-se-á a taxa de variação instantânea.

Derivada de uma Função em um Ponto

A derivada no ponto (limite) só existe, se os limites laterais resultarem em um mesmo número. Caso isso não ocorra, o limite no ponto x e, por conseqüência, a derivada não existe.

Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente

Numericamente, para obter a taxa de variação instantânea, parte-se da taxa de variação média e, graficamente, para obter a representação da taxa de variação instantânea, também parte-se da representação