Funções de aproximação. Síntese de circuitos
Por: Evypereira • 6/7/2018 • Abstract • 2.241 Palavras (9 Páginas) • 128 Visualizações
Síntese de Circuitos – ENG C46
Departamento de Engenharia Elétrica
Escola Politécnica da UFBA
Professora: Ana Isabela Araújo Cunha
FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO
- Generalidades
A síntese de um circuito linear qualquer divide-se em dois problemas: o da aproximação e o da realização.
Por aproximação, entende-se encontrar uma função de rede que atenda às especificações do filtro, ou seja, encaixe-se no gabarito.
Por realização, entende-se a concepção de um circuito (escolha ou criação da arquitetura e dimensionamento dos componentes) que seja representado pela função de rede aproximada.
A aproximação pode ser efetuada pela construção de um diagrama de Bode que se encaixe no gabarito. Mas esta técnica é limitada a funções simples (de baixa ordem).
Exemplo:
[pic 1]
Se [pic 2] < 20 dB/década (6 dB/oitava) então basta introduzir na função um pólo finito.
Se 20 dB/década < [pic 3] < 40 dB/década (12 dB/oitava) então basta introduzir na função dois pólos finitos.
Se 40 dB/década < [pic 4] < 60 dB/década (18 dB/oitava) então basta introduzir na função três pólos finitos.
Pode-se adotar para ωP a freqüência dos pólos reais ou a freqüência de ressonância dos pólos complexos (admitindo por simplicidade os pólos na mesma freqüência).
Assim: [pic 5] e [pic 6].
Com estas condições pode-se encontrar uma função que atenda ao gabarito.
Para gabaritos que requeiram ordens maiores (inclinação [pic 7] mais acentuada), é melhor usar uma função de aproximação conhecida, pré-estudada e tabelada: Butterworth, Chebyshev, elíptico, Bessel, entre outras.
Em geral, estas funções são descritas para filtros passa-baixas, obtendo-se as das demais categorias de seletividade (passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa, estas duas últimas simétricas) através de fórmulas de transformação em freqüência.
- Aproximação de Butterworth
A aproximação de Butterworth é definida por:
[pic 8]
onde n é a ordem da FT (função de transferência) do filtro e ε é um parâmetro relacionado com o ganho (atenuação) na freqüência limite superior da banda de passagem ω = ωP.
Para ω = 0: [pic 9]
Para ω = ωP: [pic 10]
Existem duas possibilidades:
(i) [pic 11] (mais usual)
[pic 12]
[pic 13]
(ii) [pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Para determinar o mínimo valor de n (ordem da FT do filtro), podemos fazer, para o caso (i):
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Analogamente, podemos fazer, para o caso (ii), [pic 21], chegando-se ao mesmo resultado para o valor mínimo de n.
Quanto menos distantes ωS e ωP ou quanto maior a diferença entre Amáx e Amin para uma mesma banda de transição, maior a ordem n requerida.
Interessa-nos encontrar os coeficientes de T(s), pois eles serão realizados a partir de componentes físicos. Por sua vez, estes coeficientes podem ser obtidos através das singularidades de T(s) (no caso, só pólos). Pode-se estender a relação
[pic 22],
onde [pic 23] (freqüência normalizada), para o domínio s, chegando-se a:
[pic 24],
com [pic 25].
Os pólos de [pic 26] são dados por:
[pic 27] (2n pólos)
com [pic 28] e k > 1.
Estes pólos se localizam sobre o círculo de raio unitário no plano s, espaçados em intervalos de π/n.
Pela teoria das variáveis complexas:
[pic 29],
então, para que a FT represente um sistema estável, devemos associar a T(s) os n pólos no SPLE, ficando os n pólos no SPLD associados a T(-s).
Os polinômios de Butterworth normalizados e na forma fatorada são (até ordem 5):
[pic 30]
[pic 31] normalizada é dada pelo inverso do polinômio. Note-se que se pode usar a tabela ou simplesmente determinar os coeicientes a partir dos pólos.
Para desnormalizar [pic 32], substitui-se [pic 33] por [pic 34].
- Aproximação de Chebyshev
A aproximação de Chebyshev é definida por:
[pic 35]
onde n é a ordem da FT (função de transferência) do filtro, ε é um parâmetro relacionado com o ganho (atenuação) na freqüência limite superior da banda de passagem ω = ωP e:
[pic 36]
Para ω = 0: [pic 37]
Se n é par: [pic 38]
...