História dos Vetores

História dos Vetores

A lei do paralelogramo para a adição de vetores é tão intuitiva que sua origem é desconhecida. Pode ter aparecido em um trabalho, agora perdido, de Aristóteles (384--322 A.C.), e está na Mecânica de Herão (primeiro século d.C.) de Alexandria. Também era o primeiro corolário no Principia Mathematica (1687) de Isaac Newton (1642--1727). No Principia, Newton lidou extensivamente com o que agora são consideradas entidades vetoriais (por exemplo, velocidade, força), mas nunca com o conceito de um vetor. O estudo sistemático e o uso de vetores foram fenômenos do século 19 e início do século 20.

Vetores nasceram nas primeiras duas décadas do século 19 com as representações geométricas de números complexos. Caspar Wessel (1745--1818), Jean Robert Argand (1768--1822), Carl Friedrich Gauss (1777--1855) e pelo menos um ou dois outros, conceberam números complexos como pontos no plano bidimensional, isto é, como vetores bidimensionais. Matemáticos e cientistas trabalharam com estes novos números e os aplicaram de várias maneiras; por exemplo, Gauss fez um uso crucial de números complexos para provar o Teorema Fundamental da Álgebra (1799). Em 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) mostrou que os números complexos poderiam ser considerados abstratamente como pares ordenados (a, b) de números reais. Esta idéia era parte de uma campanha de muitos matemáticos, incluindo Hamilton, para procurar uma maneira de estender os "números" bidimensionais para três dimensões; mas ninguém conseguiu isto preservando as propriedades algébricas básicas dos números reais e complexos.

Em 1827, August Ferdinand Möbius publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta que eram denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro lugar, contudo, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos.

Depois de muita frustração, Hamilton estava finalmente inspirado a desistir da procura por um sistema "numérico" tridimensional e em vez disso, inventou um sistema de quatro dimensões que chamou de quatérnios. Nas suas próprias palavras: 16 de outubro de 1843,

O que parecia ser uma segunda-feira e um dia de Conselho da Academia Real Irlandesa - eu estava caminhando para participar e presidir, …, ao longo do Canal Real, … uma sub-corrente de pensamento estava na minha mente, que finalmente deu um resultado, o qual não é muito dizer que logo senti a importância. Um circuito elétrico pareceu fechar; e uma faísca surgiu, ... Não pude resistir ao impulso ... escrever com uma faca sobre uma pedra da ponte Brougham, quando passamos por ela, a fórmula fundamental... .

Os quatérnios de Hamilton foram escritos, q = w +ix + jy + kz, onde w, x, y, e z eram números reais. Hamilton rapidamente percebeu que seus quatérnios consistiam de duas partes distintas. O primeiro termo, o qual chamou de escalar e "x, y, z para suas componentes retangulares, ou projeções em três eixos retangulares, ele [referindo-se a si próprio] foi induzido a chamar a expressão trinomial propriamente dita, assim como a reta a qual ela representa, de um VETOR". Hamilton usou suas "fórmulas fundamentais", i2 = j2 = k2 = -ijk = -1, para multiplicar quatérnios, e imediatamente descobriu que o produto, q1q2 = - q2q1, não era comutativo.

Hamilton tinha se tornado cavaleiro em 1835, e era um cientista conhecido que já tinha feito um trabalho fundamental em ótica e física teórica na época que inventou quatérnios, por isso foi imediatamente reconhecido. Em troca, devotou os 22 anos restantes de sua vida ao seu desenvolvimento e promoção. Escreveu dois livros completos sobre o assunto, Lectures on Quaternions (1853) e Elements of Quaternions (1866), detalhando não apenas a álgebra dos quatérnios mas também como poderiam ser usados em geometria. Em certo ponto Hamilton escreveu, "eu ainda devo afirmar que esta descoberta me parece ser tão importante para a metade do século 19 como a descoberta de flúxions foi para o final do século 17". Ele teve um discípulo, Peter Guthrie Tait (1831--1901), que, na década de 1850, começou a aplicar quatérnios a problemas em eletricidade e magnetismo e a outros problemas em física. Na segunda metade do século 19, a defesa de Tait dos quatérnios provocou reações calorosas, ambas positivas e negativas, na comunidade científica.

Ao redor da mesma época que Hamilton descobriu os quatérnios, Hermann Grassmann (1809--1877) estava escrevendo The Calculus of Extension (1844), agora muito conhecido pelo seu título em alemão, Ausdehnungslehre. Em 1832, Grassmann começou a desenvolver "um novo cálculo geométrico" como parte do seu estudo da teoria de marés, e subseqüentemente usou estas ferramentas para simplificar partes de dois trabalhos clássicos, o Analytical Mechanics de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e o Celestial Mechanics de Pierre Simon Laplace (1749-1827). Em seu Ausdehnungslehre, primeiro Grassmann expandiu o conceito de vetores a partir da familiar 2 ou 3 dimensões para um número arbitrário, n, de dimensões; isto estendeu grandemente as idéias de espaço. Segundo, e ainda mais geralmente, Grassmann antecipou grande parte da álgebra matricial e linear moderna e análise vetorial e tensorial.

Infelizmente, o Ausdehnungslehre tinha dois pontos contra si. Primeiro, era muito abstrato, faltando exemplos explicativos e foi escrito em um estilo obscuro com uma notação extremamente complicada. Mesmo depois de tê-lo estudado, Möbius não tinha sido capaz de entendê-lo completamente. Segundo, Grassmann era um professor de ensino médio sem uma reputação científica importante (comparado a Hamilton). Embora seu trabalho tenha sido amplamente ignorado, Grassmann promoveu sua mensagem nas décadas de 1840 e 1850 com aplicações em eletrodinâmica e geometria de curvas e superfícies, mas sem muito sucesso geral. Em 1862, publicou uma segunda edição revisada do seu Ausdehnungslehre, mas também era escrito de maneira obscura e era muito abstrato para os matemáticos de sua época e praticamente teve a mesma sina da primeira edição. No final de sua vida, Grassmann distanciou-se da matemática e iniciou uma segunda carreira de pesquisa muito bem sucedida, em fonética e lingüística comparada. Finalmente, nas décadas de 1860 e 1870, o Ausdehnungslehre começou lentamente a ser entendido e apreciado e Grassmann começou a receber algum reconhecimento