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APLICAÇÕES DA DERIVADA

1 – ESTUDO E ANÁLISE DE FUNÇÕES – CONSTRUINDO GRÁFICOS

Vamos aprender como analisar o comportamento de funções usando as derivadas como auxiliares na construção de gráficos.

A derivada de uma função em um ponto pode ser interpretada como a inclinação (valor do coeficiente angular) da reta tangente ao seu gráfico nesse ponto. Essa interpretação geométrica da derivada pode ser usada como recurso auxiliar no esboço de gráficos.

Por exemplo:

• podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal: nesses pontos o valor da derivada é zero;

• podemos usar a derivada para encontrar os intervalos nos quais a função está acima ou abaixo da reta tangente.

a) Funções crescentes e funções decrescentes.

A taxa de variação de uma função y = f (x) em relação a x, é dada por y’ = f' (x). Quando x cresce num intervalo, y cresce se y' for positiva e decresce se y’ for negativa.

Fig. 1

Na fig. 1 acima, a curva y = f (x) está “subindo” de A para C, de D para F e de H para I. Isso mostra que a função é crescente nos intervalos a < x < c, d < x < f, e h < x < i. Analogamente, a curva está descendo de C para D e de F para H, e a função é decrescente nos intervalos c < x < d e f < x < h.

b) Valores críticos e Máximos e Mínimos relativos

Os valores críticos para uma função y = f(x) são valores de x, para os quais:

• a função é definida e

• f’ () = 0 ou se torna infinita.

Na Fig. 1, B, C, D, F e H são pontos críticos da curva e suas abscissas x = b, x = c, x = d,

x = f e x = h são valores críticos para a função.

Uma função y = f (x) tem um valor máximo relativo para x = x0, se f (x0) for maior do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia,passando de crescente para decrescente e f'(x) muda o sinal de positivo para negativo.

Uma função y = f (x) tem um valor mínimo relativo para x = x0, se f (x0) for menor do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia, passando de decrescente para crescente e f'(x) muda o sinal de negativo para positivo.

Na Fig. 1C e F são pontos máximos e suas ordenadas são valores máximos da função correspondente. Do mesmo modo, D e H são pontos mínimos e suas ordenadas são valores mínimos da função. Pontos de máximos e mínimos de uma curva são pontos críticos, porém um ponto crítico não é, necessariamente, um ponto de máximo ou mínimo; assim, B é um ponto crítico, porém, não é máximo nem mínimo.

c) Testes para máximos e mínimos de y=f(x)

• Método da Primeira Derivada:

a) Achar f'(x) e os valores críticos.

b) Fazer x crescer passando pelos valores críticos. Para um valor crítico x = x0,

f (x) passa por um máximo [ = f (x0)] se f' (x) passar de + para –;

f (x) passa por um mínimo [ = f (x0)] se f' (x) passar de – para +;

f (x) não passa por máximo nem mínimo se f' (x) não trocar de sinal

• Método da Segunda Derivada.

a) Achar f'(x) e os valores críticos.

b) Achar a segunda derivada f"(x).

c) Para um valor crítico x = x0

f(x) passa por um máximo [= f(x0)] se f"(x0) < 0

f(x) passa por um mínimo [= f(x0)] se f"(x0) > 0

O teste falha se f"(x) = 0 em x = x0 ou se torna infinita.

d) Concavidade e ponto de inflexão

Um arco de uma curva é côncavo para cima se, em todos os pontos, o arco fica acima da tangente. Quando