Integrais: Resolução dos Exercícios Propostos

Integrais

Resolução dos Exercícios Propostos

Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

a)

5

f (x ) = 7x 2 + 4 ; b)

5

3

( ) 4 3

2

g t t t

t − = − + ; c) h(u ) = u3(−2u + u−5 ) ;

d) 5

f (x ) x 1

x

+

= e) h(v ) = (−2 + v −2 )2 f) = 4

g(s ) 1

s

Solução:

a) ∫(7x(5 2) + 4)dx =2x(7 2) + 4x +C ;

b)

5

6 4 2

3

4 3 1 3

2 12 2

t t dt t t t C

t −

 

 − +  = − + +

 

∫ ;

c) 3 5 4 2 5 ( 2 ) ( 2 ) 2 1

5

u u u du u u du u C

u

∫ − + − = ∫ − + − = − − + ;

d) 4 5 3 4

5

1 ( ) 1 1

3 4

x dx x x dx x x C

x

+ − − − −

∫ = ∫ + = − − + ;

e) 2 2 2 4

3

( 2 ) (4 4 ) 4 4 1 1 1

3

v dv v v dv v C

v v

∫ − + − = ∫ − − + − = + − + ;

f) 4 3

1 11

3

ds C

s s

∫ = − + .

Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

a) 2

3cos

( )

7sen

f x x

x

= ; b)

2cos2 tg

( )

cos

g t t t

t

+

= ; c)

2 2

2 2

sen cos

( )

7cos 7cos

f x x x

x x

= + .

Solução:

a) 2

3cos 3 cotg cossec

7sen 7

x dx x x dx

x

∫ = ∫ , mas pela tabela de derivação dada no final do

Fundamentum nº 27, obtém-se que:

d cossec x cossec x cotg x

dx

= − .

Assim, 2

3cos 3 cossec

7sen 7

x dx x C

x

∫ = − + .

b)

2

2 2

2cos tg sen sen

2cos 2cos

cos cos cos

t t dt t t dt t dt t dt

t t t

+  

=  +  = +

 

∫ ∫ ∫ ∫ = 2sent + ∫tg t cotg t dt , mas

novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que:

d sec x sec x tg x

dx

= ,

assim,

2cos2 tg

2sen sec .

cos

t tdt t t C

t

+

∫ = + +

c)

2 2

2 2

2 2

sen cos 1 (1 tg ) 1 sec

7cos 7cos 7 7

x xdx x dx x dx

x x

∫ + = ∫ + = ∫ , mas novamente pela tabela de derivação

dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que:

d tg x sec2 x

dx

= ,

assim,

2 2

2 2

sen cos 1 tg .

7cos 7cos 7