Introdução aos autovalores

Introdução aos autovalores

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, A uma matriz quadrada de ordem n e T:V V uma transformação linear, definida para cada v V por:

T(v) = A.v

Pergunta: Será que existe algum vetor v V, cuja imagem T(v) pela transformação T tenha a mesma direção que o vetor v, ou seja, será que existe um escalar µ K tal que

T(v) = µ v

O vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas observamos que o vetor nulo não pode ser utilizado em uma base do espaço vetorial V, objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e autovetores.

Estamos procurando vetores v V e escalares µ K para os quais

T(v) = A.v = µ v

Subjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores estão as soluções de muitos problemas aplicados da Matemática, Física, Engenharias Civil e Elétrica, etc.

Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. Se existe um escalar µ K e um vetor v 0 tal que:

A.v = µ v

este escalar µ é denominado um autovalor de A e v é um autovetor associado a este escalar µ.

Sinônimos para autovalor são: valor próprio e valor característico.

Exemplo 1: Seja uma matriz A e um vetor v R³ tal que:

A = |

|

| 1 0 0

0 2 0

0 0 3 |

|

| e v = |

|

| x

y

z |

|

|

Observamos que:

A.v = |

|

| 1 0 0

0 2 0

0 0 3 |

|

| . |

|

| x

y

z |

|

| = |

|

| 1x

2y

3z |

|

|

Procuramos escalares µ tal que A.v=µv, isto é:

|

|

| 1x

2y

3z |

|

| = µ |

|

| x

y

z |

|

|

Devemos resolver o sistema com as três equações:

(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (3–µ) z = 0

com a condição que vt=(x,y,z) (0,0,0).

Usamos a notação vt=(x,y,z) para indicar a transposta do vetor coluna com os elementos x, y e z.

Temos três possibilidades para os autovalores.

1. Se x 0 então µ=1. Com tais valores nas outras equações segue que y=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é u=(1,0,0)t.

2. Se y 0 obtemos µ=2, o que implica que x=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é v=(0,1,0)t.

3. Se z 0 então µ=3, garantindo que x=0 e y=0. Um vetor com estas propriedades é w=(0,0,1)t.

Neste caso específico, concluímos que para cada autovalor existe um único autovetor associado.

Exemplo 2: Seja uma matriz A e um vetor v R³ tal que:

A = |

|

| 1 0 0

0 2 0

0 0 2 |

|

| e v = |

|

| x

y

z |

|

|

Como

A.v = |

|

| 1 0 0

0 2 0

0 0 2 |

|

| . |

|

| x

y

z |

|

| = |

|

| 1x

2y

2z |

|

|

Devemos obter escalares µ tal que A.v=µv, isto é:

|

|

| 1x

2y

2z |

|

| = µ |

|

| x

y

z |

|

|

Basta resolver o sistema de equações

(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (2–µ) z = 0

exigindo que vt=(x,y,z) (0,0,0).

Existem duas possibilidades para