Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variaveis

Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

 

Ponto de máximo de uma função

 

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (xₒ,yₒ) є D(f) é ponto de máximo absoluto ou global de f se, para todo

 

(x, y) є D(f), f(x,y) ≤ f (xₒ,yₒ)

 

Dizemos que f (xₒ,yₒ) é o valor máximo de f.

 

Exemplo:

A função f(x,y) = 4 - x²- y² tem o ponto (0,0) como um ponto de máximo absoluto ou global de f, pois para todo  

 

 (x, y) є D(f) [pic 1]

     

4 - x² - y² ≤ f (0,0)

 

4 - x² - y² ≤  4,  para todo (x, y) є R².

 

O valor máximo de

f(x,y) = 4 - x² - y²  é

f (0,0) = 4.

 

 

 

 

Ponto de mínimo de uma função

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (xₒ,yₒ)  є D(f) é ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para todo

(x, y) є D(f), f(x,y) ≥  f (xₒ,yₒ)

 

Dizemos que f (xₒ, yₒ) é o valor mínimo de f.

 

Exemplo:

A função f(x,y) = 1 + x² + y² tem o ponto (0,0) como um ponto de mínimo absoluto ou global de f, pois para todo

[pic 2]

(x, y) є D(f)

1 + x² + y² ≥ f (0,0)

 

1 + x² + y² ≥ 1, para todo (x, y) є R².

 

O valor mínimo de

f(x,y) = 1 + x²+ y² é  

f(0,0) = 1.

 

É usual denominar os pontos de máximo e de mínimo de uma função de pontos extremantes (locais ou globais).

 

Ponto crítico de uma função de duas variáveis

Seja z = f(x,y) definida num conjunto aberto U є R². Um ponto (xₒ,yₒ) є U é um ponto crítico de f se as derivadas  (xₒ,yₒ) é (xₒ,yₒ) são  iguais a zero ou se f não é diferenciável em (xₒ, yₒ) є U.[pic 3][pic 4]

Geometricamente podemos pensar nos pontos críticos de uma função z = f(x,y) como os pontos em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal.

Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de z = f(x,y)   estão entre seus pontos críticos. No entanto um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante.

Um ponto crítico que não é um ponto extremante é um ponto de sela.

Proposição

 

Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem são contínuas num conjunto aberto que contém (xₒ,yₒ) e suponhamos que (xₒ,yₒ) seja um ponto crítico de f.

Seja o determinante:

H(x,y) = [pic 5]

Temos

a) Se H(xₒ,yₒ) > 0 e > 0, então (xₒ,yₒ) é um ponto de mínimo local de f.[pic 6]