Método de Newton ou Newton-Raphson

Método de Newton ou Newton-Raphson

O método desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) foi utilizado para calcular as raízes reais de qualquer função. Em 1690, o método foi simplificado pelo matemático Joseph Raphson (1648-1715), passando a ser conhecido como Método de Newton-Raphson.

[pic 1]

O método de Newton-Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ele considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva nesse ponto. Se caso x1 não for a raiz, traça-se uma segunda reta tangente e verifica-se de novo, e assim sucessivamente, até que f(x) = 0. Abaixo seguem alguns exemplos em equações.

• Abordagem Gráfica

Primeiramente uma análise gráfica. Observando o gráfico da figura abaixo, pode se perceber que um triângulo pode ser formado pela reta tangente. Com isso, pode-se chegar a fórmula para achar x1. Como segue:

[pic 2]

[pic 3]
[pic 4]
Para n iterações teremos:
[pic 5]

• Série de Taylor

A famosa série de Taylor, deve o seu nome a Brook Taylor que a estudou no trabalho Methodus Incrementorum Directa et Inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d’Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l’Huillier. A série de Taylor associada a uma função f(x) infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) (onde r é o raio de convergência e a um ponto) é a série de potências dada por:

[pic 6]

Igualando esta função a zero, temos então que x corresponde a raiz da função f(x). Porém, fazer isso até infinito é impossível, o que o Método de Newton-Raphson faz é truncar a série no segundo termo chegando a uma raiz aproximada, depois é só interagir n vezes. Portanto, da Série de Taylor temos o método de Newton-Raphson:

[pic 7]

Truncando no segundo termo, e mudando para o ponto x0:

[pic 8]

Fazendo para n iterações temos novamente Newton-Raphson:

[pic 9]

Algoritmo de Newton-Raphson

Seja a equação f(x) = 0

1. Dados iniciais:

1.  x₀: aproximação inicial;
2. ε₁  e ε₂: precisões

1. Se |f(x₀)| < ε₁, faça  x = x₀. FIM.
2. k = 1
3. ₁ =  – [pic 10][pic 11][pic 12]

       5)Se |f(x₁)|<ε₁  [pic 13]

Ou se  |x₁ - x₀|<ε₂

6)x₀ = x₁

       7)k=k+1

       Volte ao passo 4.

Cálculo Numérico – Trabalho

Tema: Método de Newton-Raphson

Realizar um estudo sobre este método, frisando pontos como: objetivo, algoritmo, etc.

Resolver os exercícios abaixo:

1. Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação , com . Considerando que há uma raiz positiva no intervalo [2,3].[pic 14][pic 15]

1. Considere a função .[pic 16]

1. Localize graficamente os zeros da função.

1. Considere o intervalo I = [-1  5]. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton. Aplique o método de Newton até atingir precisão .[pic 17]