Métodos Numéricos Aplicados: Ajuste de curva por mínimos quadrados

[pic 1]UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO

FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS

PRODUÇÃO DE ENERGIA EM MEGAWATTS-HORA (MWh) NA USINA DE ITAIPU NOS ÚLTIMOS 10 ANOS.

DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS

PROFESSORA: BLANCA R. MAQUERA SOSA

ACADÊMICA: MARELI RODIGHERI

Passo Fundo, Junho de 2015

OBJETIVOS

O objetivo do trabalho é validar o método dos mínimos quadrados no ajuste de curvas para um determinado conjunto de dados já conhecidos. A partir dele, fazer extrapolações para valores desconhecidos, para analisar sua eficiência. E por fim aprimorar os conhecimentos sobre o uso do software MATLAB e sua praticidade em métodos numéricos.

INTRODUÇÃO

A previsão de informações do nosso dia-dia sempre é útil, uma vez que, com o conhecimento antecipado de determinada situação a sociedade pode se preparar melhor para tal. Por exemplo, se conhecemos o montante desperdiçado em energia elétrica nas linhas de transmissão a cada ano, podemos estimar os valores futuros para esse desperdício e, assim, tentar minimizar as perdas.

Nesse contexto, torna-se indispensável o uso do calculo. O método de ajuste de curvas por mínimos quadrados é, com certeza, uma boa opção para fazer estrapolações. Neste trabalho será apresentado este método e verificado sua eficiência com um exemplo prático.

MATERIAIS E MÉTODOS

Fundamentos teóricos

Ajuste de curvas é uma ferramenta matemática de grande importância. Muitas vezes são conhecidos valores de um determinado assunto em função de uma variável. Por exemplo, são conhecidos os índices anuais de chuva dos últimos 7 anos, de uma determinada região, a partir desses dados pode-se extrapolar a quantidade de chuva para os próximos anos.

 No exemplo anterior o ano é a variável, que podemos chamar de x, e a quantidade de chuva será a função f(x) ou y.

Conhecidos um conjunto de pares ordenados (x,y) é possível aproximar uma equação y em função de x que  melhor satisfaça os dados. A ideia é aproximar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. Conhecida a equação da curva, podem-se determinar valores fora do intervalo conhecido.

A determinação dos parâmetros que compõem a equação é dada através do seguinte sistema:

[pic 2]

As equações acima formam um sistema de equações lineares que, de forma matricial, pode ser representado por:

[pic 3]

Onde:

[pic 4]

E sua solução será: α =  A-1 * b

Exemplo prático

São conhecidos os dados de geração de energia dos últimos anos, 2004 a 2014, da hidrelétrica de Itaipu. A partir deles é possível fazer uma estimativa de qual vai ser o montante da produção em 2015, por exemplo.

Os dados recolhidos são:

Xk	F(xk)
2004	89.911
2005	87.971
2006	92.690
2007	90.620
2008	94.685
2009	91.651
2010	85.970
2011	92.245
2012	98.287
2013	98.630
2014	87.795

Sendo xk o ano ao qual os dados se referem e F(xk) a produção em megawatts-hora por ano. (OBS: para facilitar os cálculos apenas a década de cada ano será utilizada, ex.: 2004=4 2005=5...).

O diagrama de dispersão é mostrado na figura abaixo. 

[pic 5]

O objetivo é encontrar uma função [pic 6] que seja uma boa aproximação para os valores tabelados de [pic 7] e que nos permita extrapolar com certa margem de segurança.

Construindo a tabela, para facilitar os cálculos:

	Xk	F(Xk)	Xk 2	Xk 3	Xk 4	F(Xk)*Xk	F(Xk)*Xk 2
	4	89,911	16	64	256	359,644	1438,576
	5	87,971	25	125	625	439,855	2199,275
	6	92,69	36	216	1296	556,14	3336,84
	7	90,62	49	343	2401	634,34	4440,38
	8	94,685	64	512	4096	757,48	6059,84
	9	91,651	81	729	6561	824,859	7423,731
	10	85,97	100	1000	10000	859,7	8597
	11	92,245	121	1331	14641	1014,695	11161,65
	12	98,287	144	1728	20736	1179,444	14153,33
	13	98,63	169	2197	28561	1282,19	16668,47
	14	87,795	196	2744	38416	1229,13	17207,82
Ʃ	99	1010,455	1001	10989	127589	9137,477	92686,91

1. Aproximação linear: Ѱ(x)=α1 + α2 x

[pic 8][pic 9]

Sendo g1(x)=1 e g2(x)=x e n=11 (número de observações conhecidas)