APLICAÇÃO DE CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA QUÍMICA AJUSTE DE CURVAS - ENSAIO DE ELUTRIAÇÃO DA TERRA DIATOMÁCEA

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APLICAÇÃO DE CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA QUÍMICA

AJUSTE DE CURVAS - ENSAIO DE ELUTRIAÇÃO DA TERRA DIATOMÁCEA

Julia Zanuzo Kuntz, Tereza Longaray Rodrigues, Yasmin Cebajos

1. INTRODUÇÃO

Quando realizamos um experimento de elutriação obtemos uma quantia de resultados que devem ser analisados para que se possa criar um modelo, obtendo uma função matemática que represente estes dados. Obtendo esta função podem ser realizadas simulações do processo de forma mais confiável, minimizando as repetições de experimentos que normalmente possuem um alto valor. Os modelos podem ser clarificados como lineares e não lineares. Sabe se que o modelo não linear é um resultado da derivada parcial da função não linear em relação aos parâmetros que dependem de pelo menos de um dos parâmetros do modelo.

A elutriação consiste em uma operação de separação baseada na diferença entre a velocidade média do fluido e a velocidade terminal da partícula (CREMASCO, 2014). Assim, no elutriado, as partículas com diferentes diâmetros e massas especificas apresentam distribuições de velocidades terminais distintas e isso é utilizado como fator determinando na separação das frações de solido (SILVA, 2016). Para que seja possível analisar o problema proposto de elutriação, que utiliza um modelo não linear, é preciso formular possíveis modelos deduzidos a partir de suposições teóricas. Este método vem de encontro as necessidades do engenheiro químico diante os diversos valores obtidos no experimento que através do modelo se apresentam com uma maior aproximação do valor correto.

1.4) Objetivo

O presente trabalho visa a aplicação do Método dos mínimos quadrados, de ajuste de curvas para funções não-lineares,  no tratamento dos dados obtidos através do ensaio de elutriação da terra diatomácea, realizado no Laboratório de Engenharia Química da Unipampa. Tendo como objetivo principal a determinação da equação da curva de interesse.

2. PROBLEMA E METODOLOGIA

        2.1. MÉTODOS DOS MINIMOS QUADRADOS (MMQ)

        Mínimos quadrados é uma forma para se obter a melhor reta que possa ser ajustada aos dados experimentais, sendo basicamente um procedimento que busca o mínimo de uma função de variáveis linear e angular. Sendo esta reta construída utilizando a distância entre pontos experimentais e os pontos de uma reta.

        Se, por exemplo, existisse apenas os valores da função em alguns pontos, não será exigida que a função interpole a função dada através dos pontos. Este método é usado pois pode justar uma determinada quantidade de pontos e aproximar funções.

        O MMQ consiste em escolher [pic 2][pic 3] (i=1,2,...,n) de forma que:

[pic 4]                                      (2)

assim se aproxime de f(x) ao máximo.

Sendo : g(x) que fornece os pontos estimados;

             f(x) que fornece os pontos exatos.

Desta forma o método consiste em escolher [pic 5][pic 6] de tal maneira que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

[pic 7]                                                                                                                          (2)

Caso o MMQ ajuste exatamente os dados, o mínimo da função será zero e assim uma interpolação será um caso especial dentro deste método.

O ajuste de curvas consiste em encontrar as funções de [pic 8][pic 9], para que o desvio em cada ponto i se aproxime ao máximo de [pic 10][pic 11]

2.1.1. AJUSTE POLINOMIAL

Partindo do conceito de ajuste de equações não-lineares, pode-se citar o caso do ajuste polinomial, o qual é utilizado quando os dados experimentais sugerem que a função deve ser aproximada por uma função na forma da equação (3) ou (5). Para entender o processo do ajuste, faz-se o seguinte procedimento. Considerando uma equação polinomial de primeiro grau, temos  que:

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(3)

        Conforme citado anteriormente, parte-se do conceito do método dos mínimos quadrados, assim monta-se a seguinte matriz:

[pic 13]

(4)

        Caso o grau do polinômio seja maior, como o da equação abaixo:

[pic 14]

(5)

A diferença será que uma linha e uma coluna serão adicionadas à matriz, conforme pode-se ver na sequência:

[pic 15]

(6)

        Os coeficientes a, b e c são determinados através de um sistema de equações, aplicando estes valores à equação (5) chega-se à equação polinomial da situação em questão.

 2.2. ELUTRIAÇÃO

        A elutriação é uma técnica de separação de um fluxo ascendente de fluido que escoa por um leite de partículas que possuem diâmetro ou massa especifica distintas. As partículas que apresentarem uma velocidade terminal menor ou igual à velocidade do fluido serão arrastadas (GOMIDE, 1980). Ocorre a separação das frações do sedimento quando ele é introduzido no elutriador. Através deste método determinamos a velocidade e isto acarreta na possibilidade do equacionamento da dimensão da partícula, desde que a equação que descreve este fenômeno seja conhecida. A utilização da técnica de elutriação pode ser utilizada para identificar os contaminantes de sedimentos também na indústria oleica onde através desta técnica é separada a casca do grão. O equipamento denominado elutriador se trata de um tubo vertical que permite uma corrente de velocidade especifica de fluido, enquanto isso os sólidos, a serem separados, são injetados no topo desta coluna. As partículas maiores, que se sedimentam com velocidade maior, são coletadas no fundo da coluna e as menores são arrastadas pelo topo juntamente com o fluido (MASSARANI, 2001).