Método de Gauss-Seidel

Faculdade do Gama

Exercícios práticos de métodos numéricos para engenharias

Módulo 2

Brasília

2016[pic 2]

Índice

1. Descrição do Problema.................................        p. 02

2. Método escolhido...........................................        p. 02

3. Equações do sistema .....................................        p. 03

4. Resultados......................................................        p. 03

5. Fluxograma....................................................        p. 04

6. Código.............................................................        p. 05

1.Descrição do Problema

        [pic 3]

2.Método escolhido

O problema escolhido apresenta um sistema de três equações com três incógnitas (i1, i2, i3) não lineares, assim escolhemos um método interativo para encontrar a solução. A escolha entre os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel foi feita analisando as características dos métodos. Assim optamos pelo segundo método, Gauss-Seidel, por ter uma melhor convergência do que o outro método e também por utilizar menos espaço da memória da máquina. Ambos os métodos têm autocorreção, isto é, minimizam os erros de arredondamento.

Neste método temos uma tentativa inicial, atribuindo i2=0 e i3=0, calculamos o primeiro valor de i1, com a equação 1, utilizamos o i1 calcula e o i3 inicial para calcularmos o valor de i2, pela equação 2 e assim calculamos através da equação 3 o valor de i3. Ao final o processo é repetido atribuindo os valores de i2 e i3 calculados anteriormente.

Este processo é repetido até encontrarmos o valor com 15 casas decimais de precisão, onde o teste de parada é feito através da norma euclidiana entre os valores encontrados no ciclo atual (k) e os valores encontrados do ciclo anterior (k-1).

[pic 4]

Quando o valor da norma é menor que ε=10-15 temos os valores de das raízes i1, i2 e i3 com a precisão esperada.

Ao final temos um teste simples para garantir que as raízes encontradas satisfaçam o sistema, substituímos i1, i2 e i3 nas equações e verificamos se o valor encontrado é realmente 0. Assim podemos afirmar que são solução do sistema.

3.Equações do sistema

        As equações utilizadas no programa são resultados da manipulação das equações do sistema isolando i1, i2 e i3, respectivamente, obtemos: