Resolução de Sistemas Lineares com Método Gauss-Jacobi e o Método de Gauss-Seidel

AVALIAÇÃO 1 - CÁLCULO NUMÉRICO

Resolução de Sistemas Lineares com Método Gauss-Jacobi e o Método de Gauss-Seidel

Dados:

[pic 1]

erro= ε ≤ 0.001

valores iniciais X(0)= (0,0,0)

1ª MÉTODO- GAUSS-JACOBI

I) Verificar o Critério de Convergência (critério de linhas)

|a11| ≥ |a12|+|a13|

|3| ≥ |-0.1| + |-0.2|

Satisfaz

|a22| ≥| a21|+|a23|

|7| ≥ |0.1| + |0.3|

Satisfaz

|a33| ≥ |a31|+|a32|

|10| ≥ |0.3| + |-0.2|

Satisfaz

II) Isolar os Xs

X1(i+1) = [b1 - a12x2(i) - a13x3(i)]/a11

X1(i+1)= [7.85 + 0.1X2(i) + 0.2X3(i)]/3

X2(i+1) = [b2 - a21x1(i) - a23x3(i)]/a22

X2(i+1)= [ -19.3 - 0.1X1(i) + 0.3X3(i)]/7

X3(i+1) = [b3 - a31x1(i) - a32x2(i)]/a33

X3(i+1)= [ 71.4 - 0.3X1(i) + 0.2X2(i)]/10

III) Substituir os valores iniciais

X(0) = (0,0,0)

X1(1) = [7.85 - (0.1)(0) - 0.2(0)]/3 = 2.61

X2(1)= [ -19.3 - (0.1)(0) + (0.3)(0)]/7= -2.75

X3(1)= [71,4 - (0.3)(0) + (0.2)(0)]/10 = 7.14

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(1) - |X(0)|≤ 0.001

|X1(1)- X1(0)| = |2.61 - 0| = 2.61   Não satisfaz

|X2(1)- X2(0)| = |-2.75 - 0| = 2.75  Não satisfaz

|X3(1)- X3(0)| = |7.14 - 0| = 7.14  Não satisfaz

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da primeira interação X(1) = (2.61; - 2.75; 7.14) para calcular X(2).

Calculando X(2):

X1(2) = [7.85 + (0.1)(-2.75) + (0.2)(7.14)]/3 =  3.00

X2(2) = [-19.3 - (0.1)(2.61) + (0.3)(7.14)]/7 = -2.48

X3(2) = [ 71.4 - (0.3)(2.61) + (0.2)(-2.75)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(2) - |X(1)|≤ 0.001

|X1(2)- X1(1)| = |3.00 - 2.61| = 0.39   Não satisfaz

|X2(2)- X2(1)| = |-2.48 - (-2.75)| = 0.27  Não satisfaz

|X3(2)- X3(1)| = |7.00 - 7.14| = 0.14  Não satisfaz

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da segunda interação X(2) = (3.00; -2.48; 7.00) para calcular X(3).

Calculando X(3):

X1(3)= [7.85 + (0.1)(-2.48) + (0.2)(7.00)]/3 = 3.00

X2(3)= [ -19.3 - (0.1)(3.00) + (0.3)(7.00)]/7=  -2.5

X3(3)= [ 71.4 - (0.3)(3.00) + (0.2)(-2.48)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(3) - |X(2)|≤ 0.001

|X1(3)- X1(2)| = |3.00 - 3.00| = 0.00

|X2(3)- X2(2)| = |-2.48 - (-2.50)| = 0.02

|X3(3)- X3(2)| = |7.00 - 7.00| = 0.00

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da segunda interação X(3) = (3.00; -2.5; 7.00) para calcular X(4).

Calculando X(4):

X1(4)= [7.85 + (0.1)(-2.5) + (0.2)(7)]/3 = 3.00

X2(4)= [-19.3 - (0.1)(3.00) + (0.3)(7.00)]/7 = -2.5

X3(4)= [71.4 - (0.3)(3.00) + (0.2)(-2.5)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(4) - |X(3)|≤ 0.001

|X1(4)- X1(3)| = |3.00 - 3.00| = 0.00

|X2(4)- X2(3)| = |-2.50 - (-2.50)| = 0.00

|X3(4)- X3(3)| = |7.00 - 7.00| = 0.00

Como o critério de parada satisfaz para todos os valores de X os resultados finais para o erro estabelecido são:

X1 = 3.00           X2 = -2.5           X3= 7.00

2ª MÉTODO- GAUSS-SEIDEL

I) Verificar o Critério de Convergência (critério de linhas)

|a11| ≥ |a12|+|a13|

|3| ≥ |-0.1| + |-0.2|

Satisfaz

|a22| ≥| a21|+|a23|

|7| ≥ |0.1| + |0.3|

Satisfaz

|a33| ≥ |a31|+|a32|

|10| ≥ |0.3| + |-0.2|

Satisfaz

II) Isolar os Xs

X1(i+1) = [b1 - a12x2(i) - a13x3(i)]/a11

X1(i+1)= [7.85 + 0.1X2(i) + 0.2X3(i)]/3

X2(i+1) = [b2 - a21x1(i) - a23x3(i)]/a22

X2(i+1)= [ -19.3 - 0.1X1(i) + 0.3X3(i)]/7

X3(i+1) = [b3 - a31x1(i) - a32x2(i)]/a33

X3(i+1)= [ 71.4 - 0.3X1(i) + 0.2X2(i)]/10

III) Substituir os valores iniciais

X(0) = (0,0,0)

X1(1) = [7.85 - (0.1)(0) - 0.2(0)]/3 = 2.61

X2(1)= [ -19.3 - (0.1)(2.61) + (0.3)(0)]/7= -2.79

X3(1)= [71,4 - (0.3)(2.61) + (0.2)(-2.79)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(1) - |X(0)|≤ 0.001

|X1(1)- X1(0)| = |2.61 - 0| = 2.61   Não satisfaz

|X2(1)- X2(0)| = |-2.79 - 0| = 2.79  Não satisfaz

|X3(1)- X3(0)| = |7.14 - 7.00| = 0.14  Não satisfaz

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da primeira interação X(1) = (2.61; - 2.79; 7.00) para calcular X(2).

Calculando X(2):

X1(2) = [7.85 + (0.1)(-2.79) + (0.2)(7.00)]/3 =  2.99

X2(2) = [-19.3 - (0.1)(2.99) + (0.3)(7.00)]/7 = -2.49

X3(2) = [ 71.4 - (0.3)(2.99) + (0.2)(-2.49)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(3) - |X(2)|≤ 0.001

|X1(2)- X1(1)| = |2.99 - 2.61| = 0.38

|X2(2)- X2(1)| = |-2.49 - (-2.79) = 0.30

|X3(2)- X3(1)| = |7.00 - 7.00| = 0.00

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da segunda interação X(2) = (2.99; -2.49; 7.00) para calcular X(3).

Calculando X(3):

X1(3)= [7.85 + (0.1)(-2.49) + (0.2)(7.00)]/3 = 3.00

X2(3)= [ -19.3 - (0.1)(3.00) + (0.3)(7.00)]/7=  -2.50

X3(3)= [ 71.4 - (0.3)(3.00) + (0.2)(-2.50)]/10 = 7.00

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(3) - |X(2)|≤ 0.001

|X1(3)- X1(2)| = |2.99 - 3.00| = 0.01

|X2(3)- X2(2)| = |-2.50 - (-2.49)| = 0.01

|X3(3)- X3(2)| = |7.00 - 7.00| = 0.00

Como a condição não foi satisfeita, usaremos os valores da segunda interação X(3) = (3.00; -2.5; 7.00) para calcular X(4).

Calculando X(4):

X1(4)= [7.85 + (0.1)(-2.5) + (0.2)(7)]/3 = 3.00

X1(i+1)= [7.85 + 0.1X2(i) + 0.2X3(i)]/3

X2(4)= [-19.3 - (0.1)(3.00) + (0.3)(7.00)]/7 = -2.5

X2(i+1)= [ -19.3 - 0.1X1(i) + 0.3X3(i)]/7

X3(4)= [71.4 - (0.3)(3.00) + (0.2)(-2.5)]/10 = 7.00

X3(i+1)= [ 71.4 - 0.3X1(i) + 0.2X2(i)]/10

Verificando se o critério de parada satisfaz, ou seja, |X(4) - |X(3)|≤ 0.001

|X1(4)- X1(3)| = |3.00 - 3.00| = 0.00

|X2(4)- X2(3)| = |-2.50 - (-2.50)| = 0.00

|X3(4)- X3(3)| = |7.00 - 7.00| = 0.00

Como o critério de parada foi satisfeito para todos os valores de X, os resultados serão:

X1 = 3.00      X2 = -2.5        X3 = 7.00

RESPOSTA FINAL:  Tanto para o método de Gauss-Jacobi quanto para o de Gauss-Seidel os valores de X são:  X1 = 3.00; X2 = -2.5; X3 = 7.00

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