APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL EM MATRIZ COMPLEXA GERADA PELA ANÁLISE DE UM CIRCUITO ELÉTRICO

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL EM MATRIZ COMPLEXA GERADA PELA ANÁLISE DE UM CIRCUITO ELÉTRICO

1 INTRODUÇÃO

 

A utilização do Cálculo Numérico em ciências exatas e engenharias é um instrumento importante na resolução de problemas de alta complexidade. Através dele é possível chegar a resultados que métodos analíticos somente não são capazes de encontrar. Paralelamente, a atual oferta de computadores, com capacidade de processar uma grande quantidade de informações e a realizar de cálculos complexos em frações de segundo, auxilia no ensino de através de softwares que facilitam a visualização dos métodos numéricos (MOTA, 2011).

Esse aprendizado é importante na área de engenharia, por exemplo, quando é necessária a manutenção em um determinado ponto de um circuito e, para tanto, faz-se mister a quantificação do valor da corrente ou tensão nesse ponto. Quando este valor não é conhecido, utiliza-se a análise de correntes ou tensões para sua determinação (SADIKU, 2013).

A análise matemática de um circuito CA seria um tanto impraticável no domínio do tempo, envolvendo cálculos trabalhosos. Para fins de simplificação, utiliza-se o fasor que “é um número complexo que contém informações da amplitude e do ângulo de fase de de uma função senoidal” (NILSSON, 2009, p. 234). Os fasores são baseados na identidade de Euler:

                                                                                               (1)[pic 1]

O cos  representa a parte real de um número complexo, enquanto seno  representa a parte imaginária. Assim, pode-se representar a função da tensão através de fasores, da seguinte forma (NILSSON, 2009).[pic 2][pic 3]

                                                                                        (2)[pic 4]

Por outro lado, um circuito também possui, além da fonte de tensão, os chamados elementos passivos que são definidos como os resistores (R), capacitores (C) e indutores (L). Estes elementos têm seu comportamento modelado pela lei de Ohm:  

                                                                                                                                    (3)[pic 5]

onde,  V = tensão, Z = impedância do circuito e I = Corrente circulante no circuito.

                                      Figura 1. Relação V-I dos elementos passivos de um circuito CA.

[pic 6]       

                                  Fonte: Nilsson, 2009.

É importante lembrar que a impedância Z de um circuito é um número complexo no domínio da frequência, sendo representado nas formas retangular e polar, respectivamente:

                                                                       (4)[pic 7][pic 8]

O problema a ser resolvido neste estudo envolve, inicialmente, a aplicação da Lei de Ohm e da Lei de Kirchhoff para tensão na estruturação das equações de corrente do circuito. Posteriormente, para fins de comparação, utilizar-se-á dois métodos para a resolução  das equações, o método direto de Cramer e o iterativo de Gauss-Seidel.

2 PROBLEMA E METODOLOGIA

 

        Para a resolução de circuitos em forma de malhas, aplica-se a LKT, também conhecida como lei das malhas, que afirma que as tensões ao longo de um caminho fechado têm soma algébrica igual a zero. Em outras palavras, a soma das elevações de tensão é igual à soma das quedas de tensão (SADIKU, 2013). Expressa matematicamente, essa lei diz que:

                                                                                                                (5)[pic 9]

onde, M o número de tensões na malha e Vm é a m-ésima tensão.

        Após a determinação do sistema de equações característico do circuito, deve-se aplicar métodos diretos ou iterativos para sua resolução, explicitando-se os valores das variáveis analisadas. O primeiro método a ser aplicado é a Regra de Cramer: um método direto que fornece a solução exata de um sistema linear complexo.

O método iterativo utilizado foi o de Gauss-Seidel, utiliza-se do pressuposto de que conhecendo a estimativa inicial é possível obter os valores de ,  .... Contudo, após o cálculo de , usa-se os valores x1(K+1),...,xj-1(K+1) obtidos para a próxima equação, e assim nas posteriores (RUGGIERO, 1988). [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

3 RESULTADOS e DISCUSSÃO

 

O circuito utilizado para exemplificação do uso dos métodos de Cramer e de Gauss-Seidel está representado abaixo. Neste, o objetivo é determinar a corrente I0 utilizando a análise de malhas.

                                              Figura 2. Circuito elétrico problema.

[pic 15]

                         Fonte: Sadiku, 2013.

Ao aplicar-se a LKT na resolução deste circuito, na malha 1, tem-se:

(8 + j10 - j2)I1 - (-j2)I2 - j10 I3 = 0

Para a malha 2,

(4 - j2 - j2)I2 - (-j2)I1 - (-j2)I3 + 20∠90º = 0

Na malha 3, a corrente I3 já é conhecida, pois possui uma fonte de corrente. Então I3= 5 ∠ 0º A. Portanto, ao substituir este valor nas equações acima e reorganizando o sistema, chega-se à composição de um sistema linear complexo: