O Cálculo Aplicado a Várias Variáveis
Por: tulioff • 8/5/2020 • Trabalho acadêmico • 2.420 Palavras (10 Páginas) • 219 Visualizações
CENTRO UNIVERSITÁRIO DOS GURARAPES– CAMPUS BOA VISTA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Anderson Felipe do Amaral Ferreira
Elvis Felipe de Lima Cruz
Esdras Oliveira Brainer Xavier
Filipe Daniel Ribeiro Gouveia
Túlio Flávio Santos de Andrade
Cálculo Aplicado a várias variáveis
RECIFE
2020
Anderson Felipe do Amaral Ferreira[pic 1]
201907412
Elvis Felipe de Lima Cruz
201902004
Esdras Oliveira Brainer Xavier
201905927
Filipe Daniel Ribeiro Gouveia
201900718
Túlio Flávio Santos de Andrade
201904329
Cálculo Aplicado a várias variáveis
Trabalho apresentado ao professor da cadeira de Cálculo Aplicado do Centro Universitário dos Guararapes - Campus Boa Vista, como requisito para a nota da primeira avaliação do curso de Bacharelado em Engenharia Mecânica.
Professor(a) avaliador (a): Genesis Soares Araújo
RECIFE
2020
Sumário
Domínio e Imagem de funções de várias varáveis 4
Domínio de f 4
Imagem de f 5
Derivadas parciais 8
Derivadas parciais de ordem superior 9
Regra da cadeia em funções de várias variáveis 10
Derivadas direcionais 16
Derivada direcional: interpretação geométrica 19
Taxa máxima de variação 20
REFERÊNCIAS 21
Domínio e Imagem de funções de várias varáveis
Definição:
Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x,y). Uma função real de F de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real w=f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D é o domínio de f, e o conjunto de valores w assumidos por f é a sua imagem.
As variáveis independentes x e y são as variáveis de entrada da função, e a variável dependente w é a variável de saída da função.
Exemplo:
Seja a função dada por f(x,y) = Determine f(1,2), Dom f e lm f[pic 2]
f(1,2)
f(1,2) = [pic 3]
f(1,2) = [pic 4]
Domínio de f
O Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do R² para quais a função tem sentido, nesse caso, para quais a f(x,y) = é um número real. Como x² + y² 0, para qualquer (x,y) R², o Dom f = R²
[pic 5][pic 6][pic 7]
Imagem de f
A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como a imagem de qualquer (x,y) R² par é dada por
f (x,y) = , a im f = R[pic 8][pic 9]
O gráfico de f é uma superfície do R³ que apareça abaixo:
[pic 10]
Esboço de gráficos de funções de duas variáveis
Outra maneira de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é através do seu gráfico. As funções de duas variáveis podem ser representadas graficamente como superfícies em sistemas de coordenadas tridimensionais.
Considerando z = f (x,y), o par ordenado (x,y) pode ser identificado como um ponto no plano-xy e o valor correspondente z como a altura associada ao ponto P(x,y,z) no espaço R³ , em relação ao plano-xy.
[pic 11]
Exemplo:
esboçar o gráfico de função:
[pic 12]
[pic 13]
a nenhuma superfície conhecida;[pic 14]
Substituímos na equação da superfície:[pic 15]
[pic 16]
. Pra esboçar essa curva basta lembrar gráfico da função ;[pic 17]
[pic 18]
A diferença é que, por causa do termo ao quadrado, a curva vai crescer (e decrescer) mais rápido. E também tem o detalhe que a curva vai ficar acima do eixo , ;[pic 19][pic 20]
A curva vai ficar assim:
[pic 21]
Fazendo ;[pic 22]
[pic 23]
No plano não vai ter curva, porque o gráfico não intercepta este plano.
[pic 24][pic 25]
Visualizando o gráfico da função:
Uma coisa que vale a pena ressaltar é que nessa função o e o só aparecem ao quadrado, então o eixo é um eixo de simetria do gráfico.
Isso porque você pode trocar o por , ou o por . [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
Esboçando o gráfico:
[pic 33]
Derivadas parciais
Vamos assumir que você está familiarizado com as derivadas ordinárias cálculo de uma variável. Eu, na verdade, gosto dessa notação para a derivada, porque você pode interpretá-la assim:[pic 34]
...