O Hemisfério Norte

1ª Questão

A temperatura T de uma localidade no Hemisfério Norte depende da longitude x, da

latitude y e do tempo t, de modo que T = f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir

do início de janeiro.

Significado das derivadas parciais: 𝜕𝑇/𝜕𝑥, 𝜕𝑇/𝜕𝑦 𝐞 𝜕𝑇/𝜕𝑡

• 𝜕𝑇/𝜕𝑥 : Representa a taxa de variação da temperatura em relação à longitude x, com

a latitude y e o tempo t mantidos constantes. Em termos práticos, essa derivada indica

como a temperatura muda à medida que nos movemos para o leste ou oeste em uma

determinada latitude e horário fixos.

• 𝜕𝑇/𝜕𝑦 : Representa a taxa de variação da temperatura em relação à latitude y, com a

longitude x e o tempo t mantidos constantes. Isso nos diz como a temperatura varia à

medida que nos deslocamos para o norte ou sul em uma longitude e horário fixos.

• 𝜕𝑇/𝜕𝑡 : Representa a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo t, com a

longitude x e a latitude y mantidos constantes. Esta derivada indica como a

temperatura muda ao longo do tempo em uma posição geográfica fixa.

Espera-se que fx (158, 21, 9), fy (158, 21, 9) e ft (158, 21, 9) sejam positivos ou negativos?

Considere a situação descrita: Honolulu está localizado a 158º de longitude oeste e 21º de

latitude norte. Às 9 horas do dia 1º de janeiro, uma brisa quente está soprando do noroeste,

o que implica que o ar a oeste e ao sul está quente, enquanto ao norte e a leste o ar está frio

Fx (158,21,9): Esta derivada parcial indica como a temperatura varia com a longitude.

Como o ar a oeste (direção de longitude negativa) está mais quente e a leste mais frio,

a temperatura diminui à medida que se move para o leste. Portanto, espera-se que

𝜕𝑇/𝜕𝑥 seja negativa.

• Fy (158,21,9): Esta derivada parcial indica como a temperatura varia com a latitude.

Como o ar ao sul (direção de latitude menor) está mais quente e ao norte mais frio, a

temperatura diminui ao mover-se para o norte. Portanto, espera-se que 𝜕𝑇/𝜕𝑦 seja

negativa.

• Ft (158,21,9): Esta derivada parcial indica como a temperatura varia ao longo do

tempo. Como a brisa quente está soprando no momento, a temperatura provavelmente

está aumentando com o passar do tempo. Portanto, espera-se que 𝜕𝑇/𝜕𝑡 seja

positiva

2ª Questão

Suponha que o potencial elétrico V em uma certa região do espaço seja dado por V

(x, y, z) = 5𝑥

2

- 3x + xyz

• Qual é o domínio da função V (x, y, z)?

O domínio da função V (x, y, z) é o conjunto de todos os valores possíveis de x, y e z

para os quais a função é definida. Como V (x, y, z) é uma função polinomial (envolve

apenas somas e produtos de variáveis), ela está definida para todos os valores reais

de x, y e z.

Portanto, o domínio de V (x, y, z) é 𝑅

3

(todos os números reais para x, y e z).

• Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do vetor

^i + ^j + ^k.

Para calcular a taxa de variação do potencial na direção do vetor ^i + ^j + ^k,

precisamos calcular o gradiente de V e então projetá-lo na direção do vetor dado.

• Gradiente de V: O gradiente de V (x, y, z) é dado por:

𝛁𝑽 ( 𝒙 , 𝒚 , 𝒛) = (

𝝏𝑽

𝝏𝒙 ,

𝝏𝑽

𝝏𝒚 ,

𝝏𝑽

𝝏𝒛)

Vamos calcular as derivadas parciais de V (x, y, z):

𝜕𝑉

𝜕𝑥

= 10𝑥 − 3𝑦 + 𝑦𝑧

𝜕𝑉

𝜕𝑦

= −3𝑦 + 𝑥𝑧

𝜕𝑉

𝜕𝑧

= 𝑥y

Cálculo do gradiente em P (3, 4, 5):

∇𝑉(3,4,5) = (10(3) − 3(4) + (4) (5), −3(3) + (3)(5), (3)(4))

∇𝑉(3,4,5) = (30 − 12 + 20, −9 + 15, 12) = (38, 6, 12)

• Direção do vetor ^i + ^j + ^k, o vetor tem componentes (1, 1, 1). A