O Instrumentação e Controle de Processos Químicos, DEQ-UFPB.
Por: Camila Luciana • 31/10/2021 • Bibliografia • 3.255 Palavras (14 Páginas) • 83 Visualizações
[pic 1]
FERRAMENTAS PARA AUXÍLIO NO CONTROLE DE PROCESSOS MATLAB-SIMULINK
Anteriormente foi visto que nos processos estudados quase sempre aparecem EDO’s representativas do modelo do problema que devem ser resolvidas a fim de se obter o comportamento da variável de saída do processo. Será visto neste capítulo como utilizar o MATLAB para ajudar na resolução desses problemas.
Como calcular a Transformada de Laplace de uma função
Para calcular a TLP de uma função f, utiliza-se o comando laplace( f ). Tomando como exemplo a seguinte equação:
𝑑2𝑌(𝑡)
𝑑𝑡2 + 2[pic 2]
𝑑𝑌(𝑡) + 2𝑌(𝑡) = 2
𝑑𝑡[pic 3]
O seguinte código fornece a sua TLP:
>> laplace(diff(y,2)+2*diff(y)+2*y==2) ans =
2*s*laplace(y(t), t, s) - D(y)(0) - 2*y(0) - s*y(0) + s^2*laplace(y(t), t, s)
+ 2*laplace(y(t), t, s) == 2/s
Que corresponde a:
2𝑠𝑌(𝑠) − 𝑌′(0) − 2𝑦(0) − 𝑠𝑌(0) + 𝑠2𝑌(𝑠) + 2𝑌(𝑠) = 2[pic 4]
𝑠
Fazendo com que os termos estacionários sejam nulos e reorganizando a equação:
𝑠2𝑌(𝑠) + 2𝑠𝑌(𝑠) + 2𝑌(𝑠) = 2[pic 5]
𝑠
Como calcular a solução de uma EDO
Tomando como a equação diferencial anterior, o seguinte código fornece a solução da EDO:
>> y(t)=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=2','y(0)=0','Dy(0)=0') y(t) =
1 - exp(-t)*sin(t) - exp(-t)*cos(t)
Portanto, reorganizando a equação, a solução é:
𝑌(𝑡) = 1 − 𝑒−𝑡[𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]
Como obter as raízes e coeficientes da expansão em frações parciais
Tomando como exemplo o resultado anterior, pode-se obter as raízes e coeficientes da expansão em frações parciais aplicando a TLP na resolução da EDO. Pode-se aplicar como no código abaixo:
>> y(s)=laplace(1 - exp(-t)*sin(t) - exp(-t)*cos(t)) y(s) =
1/s - (s + 1)/((s + 1)^2 + 1) - 1/((s + 1)^2 + 1)
A função pode ser reescrita da seguinte forma:
>> simplify(y) ans(s) =
2/(s*(s^2 + 2*s + 2))
Portanto, tem-se que:
𝑌(𝑠) = 2[pic 6]
𝑠(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
= 2
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠[pic 7]
A expansão em funções parciais, com os coeficientes e raízes da função é dada pelo seguinte código:
>> b=[2]
b =
2
>> a=[1 2 2 0]
a =
1 2 2 0
>> [r,p,k]=residue(b,a)
r = | ||
-0.5000 | + | 0.5000i |
-0.5000 | - | 0.5000i |
1.0000 | + | 0.0000i |
p = | ||
-1.0000 | + | 1.0000i |
-1.0000 | - | 1.0000i |
0.0000 | + | 0.0000i |
k = |
[]
Onde r representa os valores dos coeficientes (C1, C2 e C3), p as raízes (r1, r2 e r3) e k o resto da expansão. Pode-se reescrever esses resultados como:
𝑌(𝑠) = 2[pic 8]
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠
= 𝐶1
𝑠 − 𝑟1[pic 9]
+ 𝐶2
𝑠 − 𝑟2[pic 10]
+ 𝐶3
𝑠 − 𝑟3[pic 11]
Sendo que:
𝐶1 = −0,5 + 0,5𝑖 𝑟1 = −1 + 𝑖
𝐶2 = −0,5 + 0,5𝑖 𝑟2 = −1 − 𝑖 , logo:
𝐶3 = 1 𝑟3 = 0
𝑌(𝑠) = −0,5 + 0,5𝑖[pic 12]
𝑠 − (−1 + 𝑖)
+ −0,5 + 0,5𝑖 + 1
𝑠 − (−1 + 𝑖) 𝑠[pic 13][pic 14]
Pode-se verificar que esse resultado está correto aplicando a inversa de Laplace ao polinômio anteriormente encontrado e comparando com a resolução da EDO:
>> ilaplace(2/(s*(s^2 + 2*s + 2))) ans =
...