O Método da Interpolação de Newton, Método da Interpolação de Lagrange e Método da Potência.

[pic 1]

CAMPUS ALEGRETE
CURSO DE ENGENHARIA MECANICA
AL0037 - CALCULO NUMERICO
TURMA 80

Professor: Mauricio Paz Fran9a

RELATORIO N° 2

Metodo da Interpolagao de Newton, Metodo da Interpolagao de Lagrange

e Metodo da Potencia.

DAVI LINHARES DOS SANTO SILVA
JOSE MARCELO MORIMA LIMA RODRIGUES
LUIZ FELIPE DE OLIVEIRA
MARCO TULIO PRZOZWSKI MEIRELLES

Alegrete, 27 de Outubro de 2015.

INTRODUCAO

A interpolate polinomial e o metodo que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.

Atraves da interpolaqao, pode-se construir uma funqao que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, entao, a continuidade desejada.

Outra aplicaqao da interpolaqao e a aproximaqao de funqoes complexas por funqoes mais simples (uma funqao complicada demais na qual nao seja possivel avalia- la de forma eficiente, pode-se, entao, escolher alguns dados pontuais da funqao complicada e tentar interpola-los com uma funqao mais simples).

A interpolaqao permite fazer a reconstituiqao (aproximada) de uma funqao, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-dominio da funqao). A funqao resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relaqao aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.

O processo matematico de interpolaqao polinomial consiste em que uma funqao interpoladora e a funqao p(x).

Definidos um intervalo ta! c ® e uma funqao / ■ [a! “A denomina- se interpolate) o processo matematico de avaliar        £ [a-> &]- substituindo-se a

funqao f('x) pela funqao interpoladora /K1)- de modo que = /C^i);Vi € [1; n\ (

CN).

Assim, f(x) e a funqao real, definida em K &] da qual se conhecem os valores nos pontos de abcissas xh        € [a; b], Vi E [ll^](C N).

Na fase de escolha do processo matematico de interpolaqao, frequentemente sao escolhidos polinomios (por apresentarem relativa simplicidade, e tambem porque permitem representar satisfatoriamente a generalidade das funqoes que surgem no dia-a- dia).

Os dois principais metodos de interpolaqao e o metodo de interpolaqao de Newton e o metodo de interpolaqao de Lagrange.

o metodo das potencias e um algoritmo para calcular autovalores: dada uma matriz A, o algoritmo ira produzir um numero X (o autovalor) e um vetor v nao nulo (o autovetor), tal que Av = Xv. O algoritmo tambem e conhecido como a iteraqao de Von Mises.

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FUNDAMENTACAO TEORICA

Metodo da Interpola?ao de Newton

O metodo da interpolagao de Newton usa um polinomio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinomio sao calculados atraves de diferengas divididas.

Dado um conjunto de k + 1 pontos:[pic 2]

com todos x3 distintos, o polinomio de interpola9ao de um conjunto de pontos na forma de Newton e dado por:[pic 3]

Onde

= diferen9a dividida de i-esima ordem, do ponto 0.[pic 4]

Metodo da Interpola?ao de Lagrange

O metodo da interpolagao de Lagrange usa o polinomio de Lagrange (nomeado por razao de Joseph-Louis de Lagrange) como o polinomio de interpolagao de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

Dado um conjunto de k+1 pontos:[pic 5]

com todos Xj distintos, o polinomio de interpola9ao de um conjunto de pontos na forma de Lagrange e a combinagao linear dos polinomios da base de Lagrange:[pic 6]

com polinomios da base de Lagrange dados por:

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[pic 7]

Metodo da Potencia

O metodo da potencia inicia com um vetor b0, que pode ser uma aproximaqao para o autovalor dominante ou um vetor aleatorio. O metodo e descrito pela iteraqao

Abk

.4M'

Assim, a cada iteraqao, o vetor bk e multiplicado pela matriz A e normalizado.

De acordo com as premissas:

• A tem um autovalor que e estritamente maior em magnitude que os outros autovalores;
• O vetor inicial ^0 tem um componente nao-nulo na direqao de um autovetor associado com o autovalor dominante.

Assim:

• A sub-serie (M converge a um autovetor associado com o autovalor dominante.

Note que a serie (M nao necessariamente converge. Pode ser mostrado que: bfc. e “I” onde: ^le um autovetor associado ao autovalor dominante, e ||        0 A presenqa do termo eimplica que (M nao ira convergir a menos que

^ ^ _ KAbfc

= 1. Sob os dois pressupostos acima, a serie U^’) definida por:        '

converge para o autovalor dominante.

CODIGOS

Metodo da potencia.

1. -        |clc
2. -        clear all

3

1. -        disp ('Metodo da potencia');

5

1. -        syms x;

7

1. - disp ('Informe os valores da Matriz A: ');
2. - A = input('Matriz A= ');

10

1. - disp ('Insira os valores de yO: ');
2. -        y = input CyO = ');

13

1. - disp (' Insira o numero de iterates: ') ;
2. - E = input('Numero de itera9oes = ');

16

1. -        k = 0;

18

IS -        z = A*y;

1. -        lambda = y'*A*y;
2. -        alfa = max(z);

22- fprintf('\n        Iteracjao: %d        \n', k)

23 -        disp(' Z = ');

1. fprintf(' %f\n', z);
2. fprintf (' \nAlfa = %f\n', alfa);
3. fprintf (' \nLambda = %f\n', lambda);

27

El while k < E-l

28
2 5
30	-
31
32	-
33	-
34	-
35	-
36	-
37
38	-
35	-
40	-
41	-
42	-
43
44
45	-
46

end

k = k+1; y = (l/alfa)*z; z = A*y;

lambda = y'*A*y; alfa = max(z);

fprintf ('\n        Iteragao: %d        \n', k) ;

disp('Z = ');

fprintf(' %f\n', z);

fprintf('\nAlfa = %f\n'f alfa);