O Nascimento do Cálculo e Integral

Etapa 1.................................................................................................................................................3

O Nascimento do Cálculo e Integral....................................................................................................3

Integração Indefinida ...........................................................................................................................4

A Integral Definida...............................................................................................................................5

Integral Definida...................................................................................................................................6

Teorema Fundamental do Cálculo........................................................................................................7

Propriedade da Integral Definida..........................................................................................................8

Aplicações da Integral Definida...........................................................................................................9

Desafio A............................................................................................................................................10

Desafio B............................................................................................................................................11

Desafio C............................................................................................................................................12

Desafio D............................................................................................................................................13

Passo 3................................................................................................................................................14

ETAPA 2............................................................................................................................................15

Passo 1................................................................................................................................................15

Integração por substituição.................................................................................................................16

Surgimento das técnicas de integração por Partes..............................................................................17

Passo 2 ...............................................................................................................................................18

Passo 3 ...............................................................................................................................................19

ETAPA 3............................................................................................................................................20

Conceito de calculo de área................................................................................................................20

Passo 2 ...............................................................................................................................................21

Passo 2 ...............................................................................................................................................22

Passo 3 ...............................................................................................................................................23

ETAPA 4...........................................................................................................................................24

Cálculo de volume de sólido de revolução.........................................................................................24

Passo 2 ...............................................................................................................................................26

Passo 2 ...............................................................................................................................................27

Passo 3 ...............................................................................................................................................28

Bibliografia........................................................................................................................................29

ETAPA 1

Passo 1

O Nascimento do Cálculo e Integrais.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluente. A partir de Gregory Newton adotou-se a ideia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As ideias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental