O Problema Aplicado de Integração Tripla

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Problema Aplicado de Integração Tripla

1 Graduação em Engenharia Química, Universidade Vila Velha, Vila Velha, ES, Brasil.

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Resumo

O presente artigo descreve um problema aplicado de integral tripla na área da Engenharia Química. São apresentadas duas modelagens do mesmo, a solução analítica e a solução numérica, e a partir disto é feita uma comparação de valores resultantes. Para isso, a proposta apoia-se nos princípios da Educação Básica Matemática até conceitos fundamentais de Cálculo Diferencial e Integral III. O tema científico escolhido para desempenhar a situação-problema e assim, explorar os conceitos matemáticos, foi densidade ρ com massa por unidade de volume. Dessa forma, evidencia-se a importância do domínio de ferramentas matemáticas essenciais para análise e interpretação de questões na área tecnológica e demais ciências.

Palavras-chave: Integração Tripla, Densidade, Cálculo Diferencial e Integral III.

Abstract

This article describes an applied triple integral problem in the area of ​​Chemical Engineering. Two shaping of the same are presented, the analytical solution and the numerical solution, and from this a comparison of resulting values ​​is made. For this, the proposal is based on the principles of Basic Mathematical Education up to fundamental concepts of Differential and Integral Calculus III. The scientific theme chosen to carry out the problem-situation and thus explore mathematical concepts was a density ρ with mass per unit volume. Therefore, it is evident the importance of mastering essential mathematical tools for analyzing and interpreting issues in the technological and other sciences.

Keywords:  Triple Integral, Density, Differential and Integral Calculus III.

1. Introdução

Sabe-se que os programas computacionais refletem um grande avanço e que através deles é possível resolver diversos problemas na atualidade. Contudo, é necessário estudar e desenvolver alguns métodos para a otimização de vários processos. Isso se deve principalmente ao desenvolvimento tecnológico que vem acontecendo constantemente, para facilitar ainda mais a resolução de várias situações de muitas áreas.

Como alternativa para esse desenvolvimento, este trabalho tem como objetivo discorrer soluções para o problema de cálculo de massa utilizando os conceitos estudados em relação a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional e a aplicação

disso em Programação, utilizando a linguagem computacional GNU Octave.

“A densidade de uma substância relaciona sua massa e seu volume. Se duas das três grandezas - massa, volume e densidade - forem conhecidas para uma amostra de matéria, a terceira pode ser calculada.(KOTZ; TREICHEL, 2009, p.18) Além do mais, a densidade também pode ser chamada de massa específica de uma substância.

Segundo Stewart (2013, p. 918) “se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é ρ(x, y, z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é”:

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A massa é uma grandeza escalar fundamental na Física. Sua unidade, no Sistema Internacional de Unidades, é o quilograma, cujo símbolo é kg, mas usualmente e principalmente na Química é utilizada mais a unidade grama (g).

“A densidade de sólidos e líquidos é, em geral, expressa em unidades de gramas por centímetro cúbico (g/cm3) ou gramas por mililitro (g/ mL).”(BROWN et al, 2005, p. 15) Porém, a unidade do SI é quilograma por metro cúbico (kg/m³). De acordo com César; Paoli;  Andrade (2004, p. 2) ela é uma propriedade física e é utilizada por exemplo para diferenciar um material puro de um impuro, isso porque a densidade de materiais impuros será uma função de sua composição. Ligado a isso, a densidade é utilizada no controle de qualidade de um processo industrial de um determinado produto, já que uma variação da matéria indicada por essa mudança na densidade, pode ter um resultado final prejudicial no funcionamento ou na qualidade do mesmo.

Tabela 1: Síntese das unidades no Sistema Internacional.

Grandeza	Unidade SI
Massa	kg
Volume	m³
Densidade	kg/m³

Ainda sobre a densidade, ela pode ser usada para garantir a homogeneidade, uma vez que um produto/peça  não homogêneo pode afetar nas propriedades específicas da matéria, como por exemplo a resistência de ruptura e na força.

Na Engenharia Química aprofundamos esses conceitos na prática, encontrando massas e densidades dentro dos laboratórios. Para encontrar tais valores de um sólido, o método mais comum é utilizar o Princípio de Arquimedes. Esse conceito afirma que a força flutuante ascendente exercida sobre um corpo imerso em um fluido, total ou parcialmente submerso, é igual ao peso do fluido que o corpo desloca. O princípio de Arquimedes é uma lei da Física fundamental para a mecânica dos fluidos e foi formulado por Arquimedes de Siracusa.

Um exemplo de prática desse conceito é colocar um prego de ferro dentro de um recipiente chamado proveta, como está representado na figura 1. Ainda sem o objeto, deve-se anotar quantos mL de água contém na vidraria e logo depois de inserir o prego, anotar o novo valor. Subtraindo o volume final pelo volume inicial, obteremos o volume real do prego.

Encontrado o volume, iremos achar a massa, pesando o prego em uma balança analítica (mais precisa para massas de até 10,0 gramas) ou semi-analítica (de 10,0 gramas ou mais).

Depois de encontrarmos o volume e a massa do prego, colocaremos esses valores na fórmula da densidade, que é escrita por: [pic 4]

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Figura 1: Representação esquemática do experimento para determinar a densidade de um sólido irregular antes de inserir o prego (em mL).

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Figura 2: Representação esquemática do experimento para determinar a densidade de um sólido irregular depois de inserir o prego (em mL).

Essa prática foi feita em uma das aulas de Química Experimental no período antecedente a esse, e foi concluída com sucesso, tendo assim encontrado o valor da densidade desejada.