O Resumo de Vetores

Soma de vetores:

Lei dos senos:

[pic 1]

Lei dos cossenos:

[pic 2]

Método das projeções:

Módulo:

[pic 3]

Direção:

[pic 4]

Propriedades da soma:

Comutatividade: Para quaisquer vetores v e w: v + w = w + v

Associatividade: Para quaisquer vetores u, v e w: u + (v + w) = (u + v) + w

Existência do Elemento Neutro da Soma: v + 0 = 0 + v = v

Existência do Elemento Inverso da Soma: v + (-v) = 0 e v - w = v + (-w)

Multiplicação de um vetor por um escalar:

(i) v tem a direção de v;[pic 5]

(ii) v tem o mesmo sentido de v se  > 0 e v tem o sentido oposto ao de v se  < 0;[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

(iii) v tem comprimento II vezes o comprimento de v.[pic 10][pic 11]

Definimos ainda 0v = 0 e 0 = 0.[pic 12]

Se w = v, dizemos que w é um múltiplo escalar do vetor v.[pic 13]

É fácil ver que dois vetores não-nulos são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro, (-1)v = -v.

Propriedades da multiplicação:

Associatividade: [pic 14]

Distributividade:  e [pic 15][pic 16]

Para qualquer vetor v: 1v = v

Vetores em coordenadas:

Se :[pic 17]

 [pic 18]

Produto escalar:

; se  são vetores no plano. [pic 19][pic 20]

E por:

 ; se  são vetores no espaço.[pic 21][pic 22]

Teorema:  onde  é o ângulo entre esses vetores. [pic 23][pic 24]

Propriedades:

Comutatividade: Se v e w são dois vetores quaisquer, então v . w = w . v

Distributividade: Se u e v e w são vetores quaisquer, então u . (v + w) = u . v + u . w

Se v e w são dois vetores quaisquer e é um escalar qualquer, então [pic 25][pic 26]

Para todo vetor v:           e      se e somente se v=0[pic 27][pic 28]

Vetor unitário:

[pic 29]

Projeção ortogonal:

 e [pic 30][pic 31]

Produto vetorial:

(i) v x w tem direção perpendicular ao plano determinado por v e w;

(ii) v x w tem sentido determinado pela regra da mão direita: direcionando o polegar direito no sentido de v e o restante dos dedos da mão direita no sentido de w, então v x w tem o sentido projetando da palma da mão.

(iii) Se  o ângulo entre v e w, a norma de v x w é dada por .[pic 32][pic 33]

Se v e w são paralelos, define-se v x w = 0.

Também definimos v x 0 = 0 e 0 x v = 0.

1.Anti-comutatividade: Se v e w são dois vetores quaisquer, então v x w = -w x v

2. Distributividade: Se u, v e w são vetores quaisquer, então u x (v + w) = u x v + u x w

3.[pic 34]

4. v x w = 0 se e somente se um destes vetores é múltiplo escalar do outro.

5. v . (v x w) = w . (v x w) = 0

6. Se u, v e w são vetores coplanares (isto é, estão contidos em um mesmo plano), então (u x v) . w = 0.

Teorema 1:   isto é[pic 35]

[pic 36]

Teorema 2. (Produto Misto) Sejam ,  e  Então [pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]