Os Conhecimentos teóricos de movimento rotacional

1. Resumo

Este relatório tem como foco apresentar situações reais onde podem ser aplicados os conhecimentos teóricos de movimento rotacional como centro de massa, momento de Inercia e Torque.

1. Introdução Teórica

1. Espaço Angular

Quando pontos materiais descrevem trajetórias circulares, podemos determinar suas posições por meio de ângulos centrais φ em lugar do espaço s (arco OP) medido na própria trajetória (figura 1). O espaço s permite determinar a posição P do ponto material em cada instante; o ângulo φ também localiza P e, por isso, é chamado espaço angular. O espaço s é chamado espaço linear para diferenciar do espaço angular φ.

  [pic 1] (Figura 1.)

O arco s relaciona-se com o ângulo φ em radianos pela fórmula:
s = φ.R (R é o raio da curvatura da trajetória do ponto material)

De modo análogo às definições de velocidade escalar e aceleração escalar, definimos velocidade angular ω e aceleração angular ɤ. As grandezas angulares φ, ω e ɤ compõe a cinemática angular, em contraposição às grandezas lineares s, v e α, que compõem a cinemática linear.

1. Definição de Radiano (rad)

Um radiano é a medida do ângulo central φ que determina, na circunferência, um arco s de comprimento igual ao raio R (s=R). Por exemplo, para se obter o ângulo de 1 rad na circunferência de raio igual a 10 cm, deve-se construir sobre ela um arco de comprimento 10 cm. O ângulo central que

determina esse arco é igual a 1 rad (aproximadamente 57,3º).

[pic 2]

         A definição de radiano

Por regra de três simples e direta, pode-se obter a relação entre as grandezas s, φ e R.

Radiano               Comprimento do arco

     1 rad ------------------ arco = R

     φ rad ------------------ arco = S

Temos: s.1 = φ.R => s = φ.R

O comprimento da circunferência é 2πR. Substituindo-se em S=φR,
vem: 2πR = φR => φ = 2π rad.

Desse modo, o ângulo central que determina a circunferência mede 2π radianos, equivalente portanto a 360º. Assim, chega-se a 180 = π rad;
90º  rad; etc.[pic 3]

1. Velocidade Angular Média

Seja φ1 o espaço angular de um ponto material, num instante t1 e φ2 o espaço angular, num instante posterior t2 (figura 2). No intervalo de tempo
t = t2 – t1, a variação do espaço angular é φ = φ2 – φ1. A velocidade angular média ω no intervalo de tempo t, é por definição: ω = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8](Figura 2)

Medindo-se φ em radianos e t em segundos, a velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s).[pic 9][pic 10]

1.  Velocidade Linear

A velocidade lienar (V), ou escalar, é fruto da razão entre variação de posição e a variação do tempo. Ela é expressa, de acordo com o SI em m/s.

V = [pic 11]

1.  Relação entre velocidade linear e velocidade angular

É possível estabelecer uma relação entre grandezas lineares e angulares. Para isso, consideramos um objeto que executa um giro completo em movimento circular e uniforme.

Da equação da velocidade linear temos:  V = [pic 12]

Como estamos considerando um giro completo, o espaço percorrido (corresponde justamente ao comprimento da circunferência.[pic 13]

 Dessa maneira, podemos escrever: s = 2., em que R é o raio da trajetória circular. O tempo gasto para completar um giro é chamado de período de revolução de um corpo, portanto,  = T. Sendo assim, a equação da velocidade linear pode ser escrita como:  V = [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Mas como ω = , temos que: V = ω.R[pic 18]

A velocidade linear de um corpo em movimento circular uniforme é igual ao produto da velocidade angular pelo raio da trajetória descrita pelo corpo.

1.  Momento de Inercia

O Momento de Inercia expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Porém o mesmo também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inercia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação. Sua unidade de medida, no SI, é kg.m². Lembrando que a Inercia depende da forma do objeto.

[pic 19]

1.  Movimento de Rotação

É o movimento circular de um objeto ao redor de um centro ou ponto de rotação. Para saber a energia necessária para exercer este movimento, usamos a seguinte fórmula:

E = .I.ω²[pic 20]

1.  Teoria dos Eixos Paralelos

É um teorema que permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre os eixos.

          Considerando-se:

ICM: denota o momento de inercia do objeto sobre o centro de massa,

M: a massa do objeto e d a distância perpendicular entre os dois eixos.

Então o momento de inercia sobre o eixo é dado por:

I = Icm + M.x²

1.  Torque (ω)

É uma grandeza vetorial da física utilizada para definir o eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto de rotação.

1. Momento Linear

É o produto da massa e velocidade de um objeto, quantificado em kg.m/s.