Os Problemas de Valor de Fronteira em Eletrostática

CENTRO UNIVERSITÁRIO NEWTON PAIVA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - FACET

Franciane de Abreu Moreno - 11514658

Kenio Barbosa Fernandes - 11412943

Lucas Augusto Mendes Freitas - 11510609

Problemas de Valor de Fronteira em Eletrostática

BELO HORIZONTE

2017

Franciane de Abreu Moreno - 11514658

Kenio Barbosa Fernandes - 11412943

Lucas Augusto Mendes Freitas - 11510609

Problemas de Valor de Fronteira em Eletrostática

Relatório técnico apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação na disciplina Laboratório de Circuitos Elétricos I, no Curso de Engenharia Elétrica e Engenharia de Controle e Automação, no Centro Universitário Newton Paiva.

Prof. Alípio Monteiro Barbosa

BELO HORIZONTE, 06 DE JUNHO DE 2017

RESUMO

 

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SUMÁRIO

1.        INTRODUÇÃO        5

2.        DESENVOLVIMENTO        6

2.1 - EQUAÇÃO DE POISSON        6

2.2 - TEOREMA DA UNICIDADE        10

2.3 - PROBLEMAS EM ELETROSTÁTICA GOVERNADOS PELA EQ. DE LAPLACE        14

2.4 - SOLUÇÃO DA EQ. DE LAPLACE PELO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS        15

2.5 - PROCEDIMENTO GERAL PARA RESOLVER A EQ. DE LAPLACE OU DE POISSON        16

2.6 - EXEMPLOS        16

3.        CONCLUSÃO        17

4.        REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS        18

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1. INTRODUÇÃO

Na maioria das situações práticas, nem a distribuição de cargas, nem a distribuição de potencial são conhecidas.

Frequentemente, carga pode ser transferida externamente para um meio condutor, migrando para a superfície do material. Após atingido o equilíbrio de forças, a distribuição superficial de carga na superfície do material se estabelece de forma a manter o potencial do condutor constante. Assim, do ponto de vista da eletrostática, a especificação matemática de uma superfície condutora é feita, de forma conveniente, em termos do valor do potencial do condutor.

Analisaremos problemas em eletrostática envolvendo a presença simultânea de distribuições de carga e de superfícies condutoras na região de existência do campo. Na ausência de distribuições volumétricas de carga, a função potencial satisfaz uma equação diferencial homogênea, a equação de Laplace. Com a presença simultânea de superfícies condutoras e de distribuições de carga, a função potencial satisfaz uma equação diferencial não-homogênea, a equação de Poisson, cuja solução é mais elaborada.

Consideraremos problemas práticos de eletrostática onde somente as condições eletrostáticas (carga e potencial), em algumas fronteiras de uma determinada região, são conhecidas, e é desejável determinar tanto o campo elétrico quanto o potencial escalar elétrico ao longo de toda a região. Esses problemas são usualmente referidos como problemas de valor de fronteira.

1. DESENVOLVIMENTO

A lei de Coulomb nos fornece de forma facilitada o campo em qualquer ponto ‘P’ do espaço, sendo esse campo causado por uma ou mais cargas pontuais. No caso de várias cargas pontuais, usa-se o princípio da superposição para achar o vetor campo resultante.

O teorema da superposição nos diz que o vetor resultante de um campo causado por várias cargas pontuais é a contribuição do campo vetorial de cada carga separadamente.

                                                 

        [1.1][pic 1]

Onde    é o campo produzido pela carga pontual  .[pic 2][pic 3]

Porém, em uma distribuição de carga não homogênea, seja em uma superfície (R2) ou volume (R3), a equação 1.1 se torna muito complexa de ser solucionada, sendo essa complexidade, sobretudo, achar a equação da área de distribuição de cargas. Uma maneira de contornar tal situação é utilizando a equação de Poisson.

2.1 - EQUAÇÃO DE POISSON

Através dessa equação, inserimos uma nova variável ao estudo de cargas, denominado Potencial elétrico.

      [1.2][pic 4]

O potencial elétrico é a força resultante da atração de duas ou mais cargas em um determinado espaço, esta força, estando ligada diretamente ao campo elétrico produzido, depende do fluxo do fluxo desse mesmo campo. Está dependência do fluxo nos permite, por dedução, chegar ao campo em qualquer ponto de atuação do mesmo, o que simplifica boa parte dos problemas de valor de fronteira. Porém, a equação de Poisson não resolve por si só um problema proposto, ela nos mostra o caminho a seguir para uma solução mais simplificada, assim necessários métodos de solução.

Ao considerar-se problemas governados pela equação de Poisson, surge uma importante questão relacionada ao tratamento de cargas puntiformes:

• Que tipo de função densidade deveria ser utilizada na Eq. [1.2], para representar uma carga puntiforme?

A resposta a essa questão é de fundamental importância para a determinação de uma expressão integral para a função   em uma região limitada, como mostrado a seguir.  [pic 5]

Considere-se que a carga esteja localizada no ponto [pic 6], e imersa em um meio de permissividade ε. O potencial associado a essa carga no ponto [pic 7] é dado por,

[pic 8]   

[pic 9]

Fig.1 - Geometria para determinação da função potencial em uma região limitada por uma superfície Σ.