Pêndulo Simples e Amortecido

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – UNIFESP

CAMPUS DIADEMA

UC ONDAS E ÓPTICA

Experimento 1: Pêndulo Simples e Amortecido

[pic 1]

Ana Carolina Moralles [pic 2]

Fernanda Fagundes[pic 3]

Gabriela Franco

Jamile Corrêa[pic 4]

Paola Justo

Diadema

2018

RESUMO

O experimento foi dividido em duas partes. Na primeira, cada membro do grupo realizou uma medida de 10 períodos de um pêndulo de massa 156,6554 g nos ângulos de oscilação 1°, 2°, 5°, 10°, 15°, 20°, 30° e 45°. A partir dos valores obtidos foram calculados o período médio de uma oscilação, desvio padrão e desvio padrão da média para cada ângulo, e um gráfico foi traçado em papel milimetrado para que fosse possível observar a relação entre o ângulo de oscilação e o período. Os dados obtidos foram comparados com os dos demais grupos, e observou-se a dependência do período apenas com o comprimento do fio. Na segunda parte, o pêndulo foi colocado para oscilar a partir de θ = 60° e a cada um minuto, até que o pêndulo parasse, o ângulo de oscilação foi anotado. Ainda no laboratório, foi calculada a amplitude de oscilação para cada θ () e esboçado um gráfico de A vs t em papel milimetrado, no qual foi possível observar a diminuição de caráter exponencial da amplitude em função do tempo, logo, foi observado um movimento subamortecido. Através dos resultados apresentados neste relatório percebe-se a reprodução na prática daquilo que foi visto em sala de aula.[pic 5]

OBJETIVO

O objetivo desse experimento é estudar a aproximação matemática que permite que o movimento do pêndulo em pequenos ângulos possa ser descrito como um movimento harmônico simples e o efeito de uma força dissipativa em movimentos oscilatórios amortecidos.

INTRODUÇÃO

1. PÊNDULO SIMPLES

Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio inextensível de massa desprezível. Quando o corpo puntiforme é puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio e a seguir libertado, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. A trajetória do corpo puntiforme não é uma linha reta, e sim um arco de circunferência de raio L igual ao comprimento do fio inextensível.

Neste caso, é necessário que o movimento realizado pelo pêndulo possa ser descrito como movimento harmônico simples (MHS), ou seja, a força restauradora deve ser diretamente proporcional à distância medida ao longo do arco ou ao ângulo ϴ.

A Figura 1 apresenta as forças que agem sobre o peso em termos de componente radial e tangencial. Por tratar-se se um  pequeno, pode ser feita a seguinte aproximação:, sendo então possível descrever o sistema como harmônico simples. Isso implica que a força restauradora, que é o componente tangencial da força resultante, pode ser descrita como:[pic 6][pic 7]

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Figura 1: Representação de um pêndulo simples

A distância percorrida pelo corpo é descrita por , considerando a direção do deslocamento no eixo cartesiano  portanto a força resultante:[pic 10][pic 11]

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É sabido que a frequência angular  de um pêndulo de amplitude pequena é descrito por:[pic 13]

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Em que  é a constante de força. Logo, é possível descrever frequência angular em termos do comprimento do fio:[pic 15]

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Isso explica porque, em pequenas oscilações, o período depende apenas do comprimento do fio e não da massa do pêndulo, haja vista que a massa  aparece em ambos os lados da equação , sendo  a força restauradora, então a massa é cancelada. Nenhuma das relações de frequência e período irão depender de  em pêndulos de amplitude pequena, mas irão depender de :[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

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Neste modelo, as forças são consideradas conservativas, a energia mecânica total é constante e quando o sistema começa a oscilar, ele continua oscilando sem diminuição na amplitude porque o atrito é desprezado.

Feita essa aproximação, descrevendo o movimento como movimento oscilatório simples (MHS)

1. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS

Sistemas amortecidos são sistemas nos quais alguma força envolvida não é conservativa e sim uma força dissipativa, portanto a amplitude das oscilações diminui com o tempo. Por exemplo, um oscilador harmônico simples com uma força de atrito amortecedora diretamente proporcional à velocidade do corpo oscilante.

Nesse caso existe uma força adicional, a força de atrito  dada por , onde  é a velocidade e  é a constante que descreve a intensidade do amortecimento. O sinal negativo indica que a força é exercida sempre no sentido oposto ao da velocidade. Dessa forma, a força resultante no corpo é dada por[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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Aplicando a segunda lei de Newton para esse sistema, temos:

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Tal equação tem a seguinte solução se a força de amortecimento for relativamente pequena:

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E a frequência angular  é dada por:[pic 30]

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Esta equação difere da equação do oscilador simples em 2 modos. Primeiro, a amplitude  não é constante e diminui com o tempo exponencialmente. A figura 2 é um gráfico desta equação para um ângulo de fase . Ela mostra que quanto maior for  mais rápido é o decréscimo da amplitude. A linha de cor mais clara mostra a força de amortecimento fraca e a mais escura mostra a força de amortecimento forte. [pic 32][pic 33][pic 34]

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Figura 2: Gráfico de deslocamento de um oscilador com leve amortecimento para dois valores de b diferentes.