Paradigmas De Programação

Divisão e Conquista

Divisão e Conquista (do inglês Divide and Conquer) em computação é uma técnica de projeto de algoritmos utilizada pela primeira vez por Anatolii Karatsuba em 1960 no algoritmo de Karatsuba.

Técnica

Esta técnica consiste em dividir um problema maior recursivamente em problemas menores até que o problema possa ser resolvido diretamente. Então a solução do problema inicial é dada através da combinação dos resultados de todos os problemas menores computados. Vários problemas podem ser solucionados através desta técnica, como o da ordenação de números através do algoritmo merge sort e da transformação discreta de Fourier através da transformada rápida de Fourier. Outro problema clássico que pode ser resolvido através desta técnica é a Torre de Hanoi.

A técnica soluciona o problema através de três fases:

• Divisão: o problema maior é dividido em problemas menores e os problemas menores obtidos são novamente divididos sucessivamente de maneira recursiva.

• Conquista: o resultado do problema é calculado quando o problema é pequeno o suficiente.

• Combinação: o resultado dos problemas menores são combinados até que seja obtida a solução do problema maior.

Eficiência

Problemas que utilizam esta técnica podem tirar proveito de máquinas com múltiplos processadores pois a fase de divisão em problemas menores proporciona uma divisão natural do trabalho. Cada um dos problemas menores obtidos pode ser calculado separadamente em um processador sem depender dos demais.

A solução por esta técnica também é eficiente no uso da memória cache pois ao final da fase de divisão grande parte dos dados necessários para a fase de combinação já estão disponíveis na cache proporcionando um acesso mais veloz aos dados. Porém o caráter recursivo das soluções acaba gerando um trabalho de processamento maior devido ao uso de chamadas recursivas e o uso da pilha de chamadas.

Exemplo: Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um "quebra-cabeça" que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.

A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.

Solução

É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2n-1, sendo n o número de discos. Logo:

• Para solucionar um Hanói de 4 discos, são necessários 15 movimentos

• Para solucionar um Hanói de 7 discos, são necessários 127 movimentos

• Para solucionar um Hanói de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos

• Para solucionar um Hanói de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.

Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção de diferentes níveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o nível anterior já formado, sendo que esses níveis são o número de peças desintegradas da torre original que irão formar outra torre com os menores discos.

Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída uma torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com os três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 4 movimentos.

Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão

A fórmula é provinda da soma de uma progressão geométrica.

Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale a , onde "a" é o primeiro termo e "q" é a razão.

Já que a razão é 2 e o primeiro termo é 1 temos que:

Aplicação

A Torre de Hanói pode ser trabalhada em níveis de desenvolvimento com crianças. Na pré- escola, com regras simples de separação de cores e tamanhos, a torre de Hanói ajuda em questões de coordenação motora, identificação de formas, ordem crescente e decrescente, entre outras formas de aprendizado.

De uma maneira mais ampla, o jogo pode ser usado para o estabelecimento de estratégias de transferência das peças, como a contagem dos movimentos e raciocínio.

Iniciando com um número menor de peças, ou seja, resolvendo problemas mais simples, teremos oportunidade de experimentar uma das mais importantes formas de raciocínio matemático.

O jogo trabalha o desenvolvimento da lógica e do raciocínio matemático. É usado para desenvolver as crianças.

Conclusão

A Torre de Hanói consiste em passar todos os discos de uma extremidade a outra sem que um disco maior fique em cima de um menor.

As suas aplicações são basicamente usadas em escolas para que os professores possam melhorar e desenvolver o cognitivo das crianças, além do trabalho em grupo. Sendo este aplicado em pequenos grupos ou individualmente.

A Torre de Hanói possui várias formas de resolução. Uma delas é a resolução recursiva a qual podemos dizer que é a mais limitada quanto ao tempo de realização, já que sua execução dependerá de alguns fatores para tornar-se mais eficaz.



A resolução Iterativa utiliza alguns ciclos (estruturas) de repetição (for, whiles) que podem ser chamados de laços, existe ainda a possibilidade de algumas estruturas adicionais (mais complexas) as quais tornam o algoritmo mais rápido.

É