Projeto de controlador para trocador de calor

	Controle Digital de Sistemas Dinâmicos
Projeto de um controlador para trocador de calor

Introdução

Trocadores de calor são equipamentos de vários tipos e configurações onde ocorre transferência de energia sob a forma de calor entre duas ou mais massas de fluido que podem ou não estar em contato direto.

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Figura 1 - Trocador de calor

Os trocadores de calor são amplamente utilizados na engenharia. Neste trabalho utilizou-se a seguinte função transferência para um trocador encontrado na indústria.

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Objetivos

Projetar um controlador via lugar das raízes que garanta um erro nulo para entrada em degrau em regime estacionário e um tempo de acomodação inferior a 1/3 do tempo de acomodação do sistema sem controlador. É desejável também, que a resposta ao degrau apresente uma ultrapassagem percentual igual ou inferior a 25%.

Procedimentos

Iniciou-se o procedimento analisando o sistema desconsiderando o retardo e a retroação. Obtendo-se a seguinte função transferência:

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E, para este sistema, obteve-se a seguinte resposta ao degrau.

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Figura 2 - Resposta ao degrau sem retardo

Na figura 3 pode-se observar o lugar das raízes para o sistema sem retardo. Como o sistema possui apenas dois polos e nenhum zero, estes polos vão para o infinito com o aumento do ganho e temos um sistema estável.

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Figura 3 - Lugar das raízes para o sistema sem retardo

Para inserir o retardo no sistema utilizou-se uma aproximação de Padé de 2ªordem. A função de transferência para o retardo é:

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Onde T, para o trocador em questão, é igual a 5. Este retardo gera um deslocamento de fase ϕ = -5ω.

Com o auxílio da função pade do MATLAB pôde-se obter a aproximação de Padé.

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Com o retardo encontrado, pôde-se obter a função transferência do trocador com retardo. Esta função transferência pode ser vista abaixo.

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Observando-se a função transferência do sistema com retardo pôde-se concluir que o sistema é do tipo zero. Porém, para atender ao requisito de erro nulo em estado estacionário para entrada em degrau o sistema deve ser de ordem um ou superior. E, para alterar o tipo do sistema deve-se incluir um integrador no mesmo. Baseado na necessidade de incluir-se um integrador projetou-se um controlador PID para o trocador.

Abaixo, pode-se observar a resposta ao degrau do sistema com retardo em malha aberta.

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Figura 4 - Resposta ao degrau com retardo

Tratando-se do requisito do projeto referente ao tempo de assentamento analisou-se o gráfico da figura 4 e pôde-se concluir que o tempo de acomodação do sistema sem o controlador é de aproximadamente 330 segundos. Logo, o tempo de assentamento para o sistema compensado deve ser inferior a 110 segundos.

Utilizando o critério do erro de 2% tem-se:

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Levando a [pic 12]

O lugar das raízes para o trocador com retardo, que pode ser visto na figura abaixo, mostra que a inclusão do retardo no sistema acrescenta dois polos e dois zeros no sistema. Os zeros incluídos pela aproximação de Padé possuem fase não mínima, ou seja, estão no semi-plano direito do plano s. E, isto faz com que o sistema não permaneça estável para qualquer valor de ganho como no sistema sem retardo.

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Figura 5 - Lugar das raízes para o trocador com retardo

As figuras 6 e 7 apresentam o diagrama de Bode para o sistema sem e com retardo respectivamente. Analisando-as, pode-se confirmar que a inserção do retardo gera variação apenas na fase.

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Figura 6 - Diagrama de Bode para o sistema sem retardo

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Figura 7 - Diagrama de Bode para o sistema com retardo

Após analisar o sistema com e sem o retardo procurou-se verificar o comportamento do mesmo quando fechada a sua malha de retroação. Para isso utilizou-se a função feedback disponibilizada pelo MatLab. O resultado pode ser observado na figura abaixo.

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Figura 8 - Resposta ao degrau em malha fechada com retardo

Pode-se observar que o tempo de acomodação é próximo do desejado. Porém, o erro em estado estacionário é 0.5.

A partir destas informações projetou-se um controlador PID com auxilio da ferramenta Sisotool do MATLab. Para este projeto adicionou-se um polo na origem para alteração do tipo do sistema. E, um par de polos complexos no semi-plano esquerdo do plano s para garantir que os requisitos de tempo de acomodação e ultrapassagem percentual fossem satisfeitos. Após inseridos os elementos do controlador no sistema bastou ajustar o ganho e a posição do par de zeros complexos.

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Figura 9 - Lugar das raízes para o sistema com controlador

Na figura 9 pode-se observar a ferramenta sisotool utilizada para ajuste do ganho e par de zeros complexos do controlador, com as limitações impostas pelos requisitos do projeto. A função transferência do controlador encontrado é:

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Resultando nos seguintes ganhos do controlador PID:

5.70238335[pic 19]

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0.2078610705[pic 21]

Colocando-se o controlador projetado em sério com o sistema já com retardo alcançou-se a seguinte função transferência em malha aberta:

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Na figura abaixo se pode ver a resposta ao degrau do sistema com o controlador inserido.  E a função transferência em malha fechada:

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Figura 10 - Resposta ao degrau sistema com controlador

Analisando a função transferência do sistema com o controlador incluído nota-se que o sistema tornou-se do tipo um, ou seja, apresenta erro nulo em estado estacionário para a entrada em degrau. E, observando-se a figura 10 pôde-se constatar que o tempo de acomodação para entrada em degrau é inferior a 110 segundos e, a ultrapassagem percentual, inferior a 25%. Mostrando que o controlador projetado obedece aos requisitos do projeto.