Propriedades dos logaritmos

Ao estudarmos a exponenciação ou potenciação aprendemos que, por exemplo, o produto de 3 por 3, que é igual a 9, pode ser representado na forma de uma potência pela seguinte sentença matemática:

Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:

Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:

2 é o logaritmo de 9 na base 3;

3 é a base do logaritmo;

9 é o logaritmando.

Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:

Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a

Vejamos a sentença abaixo:

O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:

Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1.

Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas .

Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.

Assim sendo a expressão em geral é escrita como

Propriedades dos Logaritmos

Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:

Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.

Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:

Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.

Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:

O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.

Vamos tomar como exemplo o .

Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:

Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:

Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:

Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:

Então