Representação geral do cálculo integral

O Cálculo III

Neste trabalho apresentamos a continuação do cálculo, esta parte voltada para o cálculo de áreas e volumes, bem como áreas sob curvas em gráficos, sendo este o cálculo integral. Desenvolvido por Newton e Leibniz em trabalhos separados, que logo mostrou-se ser uma das mais importantes ferramentas do cálculo para o estudo das áreas e volumes de maneira à facilitar a mesma.

Neste ATPS trabalharemos com problemas de alguns setores econômicos que mostram-se de natureza profundamente matemática para determinação de decisões, como sendo, da área de exploração petrolífera, imaginando modelos matemáticos de valores irreais para o custo marginal do mesmo. Em outros problemas, temos a determinação de soluções puramente matemáticas.

Para a determinação do cálculo, iniciamos nosso trabalho com extensa pesquisa e desenvolvimento pessoal e adaptativo à ferramenta, onde apresentamos uma dissertação técnica sobre o cálculo integral e suas aplicações, bem como a breve história do mesmo. Dentre todos os materiais de desenvolvimento, deve-se notar o uso das diversas técnicas de integração, imprescindíveis para problemas complexos e que, de forma simples, ajudam-nos para a determinação de soluções, podendo-as ser como guias de soluções até para estudantes não-familiarizados com o cálculo integral.

Assim, damos início a apresentação geral de cálculo integral através deste trabalho, que de boa forma, demonstra vários dos problemas e adversidades que podem ser encontrados no mundo real e que somente descritos em fórmulas matemáticas e de entendimento científico, seja para o mundo físico, seja para o matemático, sempre ligados por leis das quis podemos interpretar do uso do cálculo, seja do cálculo diferencial, seja do cálculo integral.

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Etapa 1

Cálculo Integral – Passo 1

O desenvolvimento matemático da antiguidade levou-nos à pesquisa de novos meios de responder questões de interesse para o desenvolvimento humano, dentre elas, como primordial, tentar responder a área de planos para o desenvolvimento da agricultura, e até mesmo, da engenharia antiga, dados estes exemplos para o extenso estudo de maneiras de resolver problemas matemáticos de natureza específica.

Assim, do desenvolvimento matemático continuo através dos séculos seguintes, em especial na idade moderna, e com o surgimento da matemática aplicada, foi com Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que problemas antes sem solução exata e de cálculos extensivos foram respondidos em trabalhos iguais, mas independentes, pelos dois matemáticos, que dissertaram à respeito do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Os conceitos apresentados pela nova ferramenta de fazer matemática mostraram-se uteis nos diversos campos de estudos, tanto para o estudo das matérias exatas, tanta para o desenvolvimento das matérias humanas e biológicas, sendo importante notar o impacto direto do desenvolvimentos destas duas últimas na sociedade.

No desenvolvimento da sociedade contemporânea o cálculo assumiu caráter rigoroso, tornando-se de grande importância para com o desenvolvimento técnico-científico atual. Neste período fomos capazes de expandir as ideias do cálculo integral para o espaço euclidiano, que é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, e para o plano complexo.

Assim, da compreensão da capacidade de resolver problemas, a determinação de uma nova ferramenta mostrou-se o meio definitivo para o encontro de soluções, mostrando os meios e técnicas de cálculo para os vários problemas matemáticos das mais diversas áreas do conhecimento.

Desafios de Integração – Passo 2 e 3

Agora, da proposta do Passo 2 e 3 deste trabalho, devemos solucionar alguns desafios que envolvem integrais e, após isso, associar números dados pelo desafio às respostas, onde obteremos uma sequência numérica específica.

Desafio A

Neste desafio devemos encontrar a solução da integral ∫▒(a³/3+3/a³+3/a) , respondendo, após resolvida, qual das alternativas é a respostas. Sendo elas:

F(a)=12a^4-(3a^(-2))/2+ln⁡〖|3a|+C〗

F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=a^4/12-2/(3a^2 )-3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=12a^4+3/(2a^(-2) )+ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=a^4+3/(2a^2 )+3ln⁡〖|a|+C〗

Então, resolvendo ∫▒(a³/3+3/a³+3/a)∂a,

∫▒〖a³/3 ∂a+∫▒〖3/a³ ∂a+∫▒3/a〗〗 ∂a

a^4/3.4+(3a^(-2))/(-2)+3 ln⁡〖|a|+C〗

a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗

Assim, encontramos que a solução da integral é F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗, ou seja, a solução apresentada pela alternativa b, e assim, pelo proposto no Passo, deve-se ser associado o número 3 para a alternativa b.

Desafio B

Aqui compreendemos um cálculo de relação utilizado pela indústria do petróleo, supondo valores de perfuração por pés q perfurados e o valor inicial para tal perfuração, sendo C^' (q)=1000+50q e C(0)=10000, respectivamente, e assim, a representação do custo total para a perfuração de q pés pode ser dada entre uma das soluções.

C(q)=10000+1000q+25q²

C(q)=10000+25q+1000q²

C(q)=10000q²

C(q)=10000+25q²

C(q)=10000+q²+q³

Tomando C^' (q)=1000+50q como o integrando, temos:

∫▒〖(1000+50q)∂q〗

∫▒〖(1000)∂q+∫▒〖(50q)∂q〗〗

1000q+50q²/2+C

C(q)=1000q+25q^2+C

Agora, estabelecendo que a constante de integração seja o valor corresponde quando o valor para q na atual função é 0, ou seja, C(0)=1000.(0)+25(0)^2+C, C(0)=C, por ser independente do valor de q, e tomando o que foi dado no enunciado do desafio para