Representação matricial da transformação de coordenadas

Sumário

Representação matricial da transformação de coordenadas        

Matriz aumentada        

Matriz de translação        

Matriz de rotação        

2.7 Inversas de Matrizes de Transformação        

Exemplo 2.14        

Exemplo 2.15        

2.8 Cinemática Direta e inversa de robôs.        

Exemplo 2.16        

Exemplo 2.17        

2.10 Equação de Cinemática direta e inversa        

Exemplo 2.20        

2.12 Representação de denavit hartenberg de equação cinemática direta de robôs        

Tabela 2.4 Parâmetros para Robô de exemplo 2.25        

2.13 Solução de Cinemática Inversa de robôs        

Exemplo 2.28        

2.17.1 Um Robo 3-GDL        

EDER

Representação matricial da transformação de coordenadas

Um m × n em matriz é um conjunto de números organizados em m linhas e n colunas. A ilustração a seguir mostra várias matrizes.

[pic 1]

Você pode adicionar duas matrizes do mesmo tamanho, adicionando elementos individuais. A ilustração a seguir mostra dois exemplos de adição de matriz.

[pic 2]

Um m × n matriz pode ser multiplicada por um n × p matriz e o resultado é um m × p matriz. O número de colunas na primeira matriz deve ser o mesmo que o número de linhas na matriz da segunda. Por exemplo, uma matriz de 4 × 2 pode ser multiplicada por matriz 2 × 3 para produzir uma matriz de 4 × 3.

Pontos no plano e linhas e colunas de uma matriz podem ser pensados como vetores. Por exemplo, (2, 5) é um vetor com dois componentes e (3, 7, 1) é um vetor com três componentes. O produto de ponto de dois vetores é definido da seguinte maneira:

(um, • b) (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Por exemplo, o produto do ponto de (2, 3) e (5, 4) é (2) (5) + (3) (4) = 22.O produto de ponto (2, 5, 1) e (4, 3, 1) é (2) (4) + (5) (3) + (1) (1) = 24.Observe que o produto de ponto de dois vetores é um número, e não outro vetor. Observe também que você pode calcular o produto ponto somente se os dois vetores têm o mesmo número de componentes.

Permitir que A (i, j) ser a entrada na matriz a na linha i e a coluna de jth. Por exemplo, A (2, 3) é a entrada na matriz a na terceira linha e segunda coluna. Suponha que A, B e c são as matrizes e AB = c. As entradas de c são calculadas da seguinte maneira:

C (i, j) = (linha i da) • (coluna j da B)

Matriz aumentada

A matriz aumentada é uma matriz que possui os coeficientes das incógnitas de um sistema, juntamente com os termos independentes. 

Ex: 
3a + 2b -1c +1d = 11 
2a -1c + 2d = 0 
3a + 1b + 2c + 5d = 2 

A matriz aumentada seria: 

| 3 2 -1 1 11| 
| 2 0 -1 2 0 | 
| 3 1 2 5 2 | 

Como você pode perceber, na matriz estão os coeficientes de cada incógnita do sistema juntamente com os termos independentes. 

Obs: na segunda equação não existe a incógnita "b" , portanto é considerado como 0 o coeficiente da mesma.

Matriz de translação

Um ponto, ao sofrer uma translação, move-se do ponto de coordenadas [ x y z 1 ] para o ponto de coordenadas [ x' y' z' 1] tal que

RABELO
[pic 3]

em que os parâmetros Tx, Ty e Tz são os valores do deslocamento relativamente a cada um dos eixos coordenados. Esta representação matricial é equivalente ao conjunto das 3 seguintes equações:

x' = x + Tx

y' = y + Ty

z' = z + Tz

[pic 4]

Para que o objeto seja deslocado para a sua nova posição basta que se realize a translação dos seus vértices, redesenhando-se de seguida toda a figura. Por outro lado, se o deslocamento dx for negativo, o objeto move-se para a esquerda, enquanto que se o deslocamento dy for negativo, o objeto move-se para baixo. Usando notação matricial, podemos representar a transformação geométrica através de uma adição de matrizes, onde o vector P representa as coordenadas iniciais do objeto, o vector P' as suas coordenadas finais e T o vector da transformação aplicada ao objeto, neste caso a translação.

Matriz de rotação

Uma matriz de rotação é uma matriz quadrada que, quando aplicada sobre a representação matemática de vetor - a matriz coluna - tem o efeito de mudar a direção do vetor por ela representado mas não a sua magnitude; fazendo-o assim fisicamente revolver em torno de um eixo de rotação definido pelos elementos da matriz; por um valor angular também por eles especificado. O resultado da operação é uma segunda matriz coluna que encerra as coordenadas do vetor resultante da rotação.

2.7 Inversas de Matrizes de Transformação

Transformações lineares podem possuir operadores inversos à direita e à esquerda, que não serão necessariamente iguais. 

Uma transformação linear [B:F->E] chama-se uma inversa à direita da transformação linear  [A:E -> F] quando se tem [AB = If], ou seja, quando A(Bw)=w para todo [w pertence F].

A fim de que uma transformação linear [A:E -> F] entre espaços vetoriais de dimensão finita possua uma inversa à direita [B pertence L(F;E)], é necessário e suficiente que A sejas objetiva.

No caso da Inversa à esquerda, toma-se [A:E -> F] e [B:F->E] transformações lineares. Diz-se que B é uma inversa à esquerda de A quando [BA = IE], isto é, quando B(Av) = vpara todo [v pertence E].

Sendo E e F espaços vetoriais de dimensão finita, a transformação linear [A:E -> F] possui inversa à esquerda se, e somente se, é invectiva.

Uma transformação linear [A:E -> F] chama-se invertível quando existe [B:F->E] linear tal que [BA = IE] e [AB = IF], ou seja, quando B é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de A. Neste caso, diz-se que B é a inversa de A e escreve-se [B = A elevado a (-1)].

Esta é a base do isomorfismo