Resistência dos Sólidos - Tensões

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

TENSÕES

CASCAVEL – PR

2016

1. CONCEITO DE TENSÃO EM PONTO DO CORPO

O conceito de tensão se cria a partir da pressão, como por exemplo a hidrostática, que se traduz numa força normal por unidade de área. Por tensão, compreende-se se uma extensão dessa ideia para os casos em que a força por unidade de área pode não ser, necessariamente, normal.

A Figura 1 ilustra o conceito de tensão, supondo um corpo sólido, em equilíbrio, preso a um certo número de ações (forças externas):

[pic 1]

Figura 1 – Sólido em equilíbrio.

Isolando-se uma parte deste sólido, conforme a Figura 2, o equilíbrio é garantido pelo princípio da ação e reação (Lei de Newton), por se tratar de uma parte de um sólido em equilíbrio.

[pic 2]

Figura 2 – Ação e reação no sólido.

Generalizando, pode-se dizer que uma área elementar dS é responsável por uma parcela dF daquelas forças transmitidas (ação e reação). Na Figura 3 é mostrada a parcela dF segundo suas componentes nos eixos x, y, z, com "origem" no centro da área do elemento dS.

O sistema Oxyz é cartesiano.

[pic 3]

Figura 3- Decomposição de força.

As seguintes grandezas são definidas a partir da divisão das componentes força e área elementar dS:

[pic 4](1)

Assim, pode-se ilustrar na figura 4:

[pic 5]

Figura 4 – Tensões em um sistema de referência.

Pelas definições demonstradas por (1), observa-se que estas são colocadas em forma de processos limites, e essa colocação parte da suposição da existência de continuidade do corpo sólido. Outro fato é que dF pode variar de direção e de sentido ao longo da área S, porém, na passagem ao limite tais características ficam definidas no ponto em consideração (continuidade).

A grandeza σz é chamada tensão normal e as grandezas τzx e τzy são chamadas tensões tangenciais (cisalhantes). Nota-se que nestas grandezas os índices têm o seguinte significado:

[pic 6]

1. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES

Quando um elemento está em estado de tensões triplo, entende-se que este se encontra sujeito a tensões σx, σy, e σz.

A figura 5 ilustra um elemento dx, dy, dz retirado de um sólido solicitado a este estado de tensão.

Fazendo abstração das forças volumétricas e das diferenciais de tensão, o equilíbrio permite concluir que os respectivos vetores de tensão, em cada uma das seis faces do elemento, serão iguais em valor e de sentido oposto. (Equilíbrio de forças).

[pic 7]

Figura 5 – Estado triplo de tensões.

A notação utilizada é a mesma do caso plano de tensões.

O equilíbrio do elemento é expressado por 6 equações

Já utilizamos 3 condições ao adotarmos valores iguais em faces opostas. Ainda restam as três condições de nulidade de momentos aplicados ao elemento. Assim:

[pic 8]

E analogamente para τxy, τzx e τzy tem-se que:

[pic 9]

Este teorema de igualdade recíproca das tensões tangenciais, ou Teorema de Cauchy reduz o número de parâmetro que determinam o estado triplo de tensão a 6: σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz.

[pic 10]

Figura 6 – Equilíbrio de tensões.

1. ESTADO PLANO DE TENSÕES

Considera-se, agora, um estado de tensão mais geral num elemento onde não só atua tensão normal em uma direção, mas em duas direções. Tal situação é conhecida como tensões biaxiais. Distinguindo-se, assim da tensão em uma direção, ou uniaxial.

As tensões biaxiais aparecem em análise de vigas, eixos, chapas etc. No momento, o interesse é determinar as tensões normais e tangenciais num dado plano de um estado de tensão.

Seja, então, uma chapa retangular com espessura unitária com tensões normais e tangenciais atuando sob esta chapa com uma convenção de sinais definida seguindo a Figura 7.

[pic 11]

Figura 7 – Tensões no estado plano.

Tensão normal:

[pic 12]

1. TENSÕES EM PLANOS GENÉRICOS – CÁLCULO ANALÍTICO

Num plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não é necessariamente normal ao plano. Para efeito de análises, ela pode ser decomposta numa componente normal e outra paralela ao plano, como é apresentado na Figura 8.

A componente Normal é chamada de tensão normal (σ) e a componente tangencial de tensão de cisalhamento (τ), embora não sejam tensões que possam atuar separadamente.

[pic 13]

Figura 8 – Componentes atuantes em um plano.

1. TENSÕES PRINCIPAIS

Frequentemente, no estudo das tensões, o interesse está voltado para a determinação da maior e da menor tensão, dadas pelas expressões de σx, σy e τxy (caso plano) e, também, em que planos ocorrem tais tensões.

Para isto se faz:

[pic 14]

Ou:

[pic 15]

Assim concluímos que:

[pic 16]

Para θ1 que determina as máximas tensões normais, as tensões tangenciais são nulas.

Os planos em que atuam as máximas tensões são chamados de planos principais de tensão e as tensões máximas são chamadas tensões principais.

[pic 17]