Resumo Oscilador Harmônico

Oscilador Harmônico

Um movimento oscilatório é um movimento no qual uma situação se repete em intervalos de tempos iguais. Assim, podemos considerar um oscilador harmônico como o sistema abaixo:

Dizemos que o oscilador está em seu estado natural quando encontra-se na posição 0, isso porque não há compressão nem distensão da mola neste ponto. A força elástica é sempre no sentido contrário ao movimento, assim como a força de resistência.

Assim, aplicamos a 2ª Lei de Newton ao oscilador harmônico da seguinte forma:

mx’’ = - kx -bx’ + Fext

mx´´ dependendo da aceleração;

-kx dependendo da posição;

-bx’ dependendo da velocidade

Podemos reescrever essa equação linear de outra forma:

mx’’ + bx’ + kx = Fext

Se temos uma Fext nula, temos uma equação linear homogênea.

Se delta é diferente de zero, temos, então, dois valores para beta. Se delta é igual a zero, temos apenas um valor para beta.

Para a representação da solução, só lembrar de cálculo 3:

x(t) = c1 * ex1 t + c2 ex2 t

Para descobrir c1 e c2: x(0) = c1 + c2

e x’(0) = v0 = x1*c1 + x2*c2

Nesse caso, temos uma única solução geral.

Quando delta é igual a zero:

x (t) = c1 * ex1 t + t c2 ex2 t

Derivando, temos:

x(0) = x1 * c1 + c2  + x2 * c2 * t

Quando delta é negativo (números imaginários, surge o i):

sendo o número complexo z= a+-bi

e, sendo a=0

x(t) = c1 *cos (bt) + c2 *sen(bt)

A partir de x(0) e x´(0), podemos, então, ter a equação.

*relembrando trigonometria

cos (a+b) = cos a * cos b - sen a * sen b

Oscilador Harmônico Isotrópico em 2D

Isotrópico - kx=ky=k

Oscilador Harmônico Amortecido

Para oscilador harmônico amortecido, temos a força de resistência F = - bv. Lembrando que colocamos tudo em função de x:

mx’’ + bx’ + kx = 0

• no oscilador harmônico amortecido, estamos desprezando as forças externas;

lembrando que:

wo =                e             y = b/2m[pic 1]

Assim, podemos escrever a equação acima:

 x’’ + b/m x’ + k/m x = 0

x2 + b/m x + k/m = 0

Substituindo wo e y:

x2 + 2y x + wo²= 0

delta = [pic 2]

x = -2y +-   /2[pic 3][pic 4]

x = -y +- y²-wo²[pic 5]

Assim, podemos dividir o problema em três casos:

1. y<wo = amortecimento fraco ou sub-amortecido
2. y>wo = amortecimento forte ou super-amortecido
3. y=wo = amortecimento crítico

Oscilador Harmônico Sub Amortecido

Nesse caso, o delta daquela solução acima é negativo, isso porque y<wo. Assim, a diferença tem que ser dada por:

w² = wo² - y²>0 , uma vez que wo>y.

Assim, podemos reescrever:

x = -y +- y²-wo²[pic 6]

x=  -y +-  -w²[pic 7]

x= -y +- w² * -1[pic 8][pic 9]

x=  -y +- w * i

Nesse caso, temos duas soluções com números complexos: z1= -y + wi e z2= -y - wi.

Assim, temos a solução:

x(t) = e-yt * c1 * cos (wt) + e-yt * c2 * sen (wt)

• As constantes c1 e c2 são substituídas por por um único c, que representa a amplide:

x(t) = e-yt * A * cos (wt - o)

Amplitude C e fase o.

O termo da solução tem um decaimento exponencial e um oscilante, percebemos que quanto maior y (b/2m), mais rápido o movimento vai decair. Ou seja, quanto maior a força de resistência e menor a massa, mais rápido esse movimento vai “morrer”.

Por conta do amortecimento, ele demora mais pra completar uma volta completa.Isso pois:

w² = wo² - y², como já havíamos visto, assim

w=  < wo.[pic 10]

Analisando graficamente:

Assim, descobrimos, então, a posição x(t) = A * e-yt * cos (wt - o)

A = amplitude

0= fase

Para descobrirmos a velocidade em função do tempo, lembremos que a velocidade é a derivada primeira da posição. Assim, derivamos:

v(t) = x’(t) = -y * A * e-yt * cos (wt - o) - w *  A * e-yt * sen (wt - o)

v(t) = - Ae-yt  ( y cos (wt - o) + A sen (wt - o))