Tabela integral

CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI – UNIAN

 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Prof. Adilson Principe

1. O MÉTODO DE CONJETURAR E VERIFICAR

        Para se encontrar primitivas simples, um bom método é fazer uma conjectura a qual deve ser a resposta e depois verifica-lá derivando. Se obtivermos o resultado esperado, acabou, caso contrário, repetimos o processo.

        Na regra da cadeia este método é útil pois :

         = f’ (g(x)).g’(x)  onde temos: g(x) – função de “dentro”[pic 1]

                                                                               f’ – derivada da função de “fora”

                                                                               g’ – derivada da função de “dentro”

        Observa-se que qualquer função resultante da aplicação da regra da cadeia é o produto de dois fatores: a derivação da “função de fora” (ou externa) e a derivação da “função de dentro” (ou interna).

Exemplo 1 –  Encontre [pic 2]

Pode-ae ver que a função 3x2cosx3 parece ser obtida através da regra da cadeia pois existe a “função de dentro” : x3 (sua derivada : 3x2) e a “função de fora” cosseno que tem o seno como primitiva.

Vamos verificar:    então [pic 3][pic 4]

Exemplo 2 –  Encontre  dt[pic 5]

Parece que t2+ 1 é a função interna. Daí  é uma primitiva pois pela regra da cadeia derivando uma exponencial obtemos a mesma exponencial, mulyiplicada por outros fatores.[pic 6]

Verificando: ,   temos que voltar a conjecturar pois temos 2 quando seria 1, então...................[pic 7][pic 8]

Logo sabemos que:  [pic 9]

Exemplo 3 -  Encontre [pic 10]

A função interna: x4 + 5  e sua derivada aparece como um fator (x3) exceto pela falta da constante 4.

Logo temos mais ou menos a forma: g’(x)  com g(x) = x4 + 5 [pic 11]

Sabemos que  é uma primitiva de  então  [pic 12][pic 13][pic 14]

Vamos verificar:  [pic 15]

Observamos que existe o fator 4. Então a correta é:  [pic 16]

Portanto:  [pic 17]

2. O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Quando temos um integrando complicado nos ajuda a formalizar o método da conjectura verificando-se da seguinte forma:

Para fazer uma substituição teremos:

Seja u a “função de dentro” e du = u’(x) dx = [pic 18]

Vamos fazer o exemplo 1 pelo método da substituição, então:

Encontre [pic 19]

Fazemos x3 = u  então du = u’(x)dx = 3x2 dx, reescrevendo, temos:

[pic 20]

Vamos demonstrar que realmente a substituição funciona. Supunhamos que temos uma integral da forma   onde g(x) é a função de dentro e f(x) a função de fora.   Se F é uma primitivade f, então F’ = f e, pela regra da cadeia,   ,  daí, teremos: [pic 21][pic 22][pic 23]

Como u = g(x) e    então [pic 24][pic 25]

Por outro lado, como F’ = f, temos que : [pic 26]

Portanto, as duas integrais a seguir são iguais: [pic 27]

Concluimos que substituir a função de dentro por u e escrever du = u’(x)dx não muda a integral indefinida.

Vamos observar o 2º exemplo já visto, fazendo-o por substituição :

Encontre : [pic 28]

Como (  é a função de dentro cuja derivada é 2t  então u = t2 + 1,  logo du = u’(t)dt = 2tdt[pic 29]

Como o integrando original tem apenas tdt e não 2tdt, escrevemos:  du = tdt,  e então:[pic 30]

[pic 31]

Exemplo 4 :  Encontre [pic 32]

Função interna: x4 + 5, sua derivada : 4x3, então u = x4 + 5, daí du = u’(x)dx = 4x3dx redundando que