Temas abordados: Retas Tangentes; Derivada e suas regras basicas

Universidade de Bras´ılia

Departamento de Matem´atica

C´alculo 1

Lista de Exerc´ıcios – Semana 05

Temas abordados: Retas Tangentes; Derivada e suas regras b´asicas

Se¸c˜oes do livro: 2.7; 3.1 a 3.3

1) Explique o que significa dizer que uma fun¸c˜ao ´e deriv´avel no ponto x = a. Qual ´e a

interpreta¸c˜ao geom´etrica do n´umero f′(a), quando ele existe? (veja V´ıdeo 1)

2) Verifique que se f(x) ´e deriv´avel em x = a, ent˜ao f ´e cont´ınua neste ponto. Dˆe um exemplo

mostrando que f pode ser cont´ınua em um ponto sem ser deriv´avel nele. (veja Texto 1)

3) Usando a defini¸c˜ao, calcule a derivada de cada uma das fun¸c˜oes abaixo. (veja Texto 2) Em

seguida, determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f(a)), para o

valor de a indicado. (veja V´ıdeo 3)

(a) f(x) = x2 − x + 1, a = 1 (b) f(x) = 1/x, a = −2

(c) f(x) = px, a = 4 (d) f(x) = 1/px, a = 1

4) Quantas retas tangentes ao gr´afico de f(x) = x3 + 3x s˜ao paralelas `a reta y = 6x + 1?

Determine a equa¸c˜ao dessas retas tangentes. (veja V´ıdeo 3)

5) Dizemos que a fun¸c˜ao f possui derivada lateral `a esquerda no ponto x = a quando existe

o limite

f′−

(a) = lim

x→a−

f(x) − f(a)

x − a

= lim

h→0−

f(a + h) − f(a)

h

.

De maneira an´aloga definimos derivada lateral `a direita f′+ (a). Mostre que f ´e deriv´avel

no ponto x = a se, e somente se, as derivadas laterais existem e s˜ao iguais.

6) Para cada uma das fun¸c˜oes abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja

deriv´avel. (veja V´ıdeo 4)

(a) f(x) = _ x2 se x < 1,

ax + b se x _ 1.

(b) f(x) = _ ax + b se x < 1,

−x2 + 5x se x _ 1.

7) Calcule a derivada de cada uma das fun¸c˜oes abaixo. (veja Texto 3)

(a) f(x) = (3x4 − 7x2)(5x − 11) (b) f(x) =

2x + 3

x2 − 1

(c) f(x) =

px

x2 − 2x

(d) f(x) = p3 x +

4

x

(e) f(x) = _4x3 −

5

x3 + px__3

x − 4x + 6_ (d) f(x) = x|x|

8) Supondo que a posi¸c˜ao de uma part´ıcula ´e dada por s = pt, resolva os itens a seguir.

(a) Calcule a velocidade m´edia da part´ıcula entre os instantes t = 9 e t = 16.

(b) Calcule a velocidade instantˆanea da part´ıcula quando t = 9.

9) Calcule a taxa de varia¸c˜ao do volume de um bal˜ao esf´erico em rela¸c˜ao ao seu raio, quando

o raio do bal˜ao ´e igual a 5 cm.

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