Teorema Fundamental

Teorema Fundamental do Calculo e

Integrais Indenidas

22.1 Introduc~ao

Calcular integrais usando somas de Riemann, tal qual vimos no cap´ıtulo anterior, ´e um trabalho penoso e por vezes

muito dif´ıcil (ou quase imposs´ıvel). Felizmente, existe um m´etodo muito eficiente e poderoso que permite calcular

integrais de uma maneira muito mais simples. Este m´etodo, desenvolvido separadamente por Newton e Leibniz, mostra

que se uma determinada quantidade pode ser calculada por exaust˜ao (somas de Riemann, por exemplo), ent˜ao pode

ser calculada muito mais facilmente com o uso de antideriva¸c˜ao, entendida como o processo de achar uma fun¸c˜ao

conhecendo-se a sua derivada. Este importante resultado ´e denominado teorema fundamental do calculo e ´e um dos

mais importantes de toda a matem´atica. Este teorema relaciona derivadas e integrais e mostra que elas s˜ao, de uma

certa maneira, “opera¸c˜oes inversas”.

Este fato ´e evidenciado pela seguinte situa¸c˜ao f´ısica. Considere uma part´ıcula deslocando-se em linha reta, com

velocidade conhecida v(t) ≥ 0, em cada instante t, com t variando em um intervalo de tempo [a, b]. Se s(t) fornece

a posi¸c˜ao da part´ıcula em cada instante t, o espa¸co total percorrido pela part´ıcula em um intervalo de tempo [a, b] ´e

dado por s(b) − s(a).

Considere agora uma parti¸c˜ao P do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. O espa¸co percorrido pela part´ıcula,

em cada subintervalo de tempo [ ti−1, ti], de comprimento Δt, da parti¸c˜ao P, pode ser aproximado por v(ci)Δt, onde

ci ´e um ponto do subintervalo considerado. Assim, o espa¸co total percorrido pela part´ıcula no intervalo de tempo [a,

b], pode ser aproximado pela soma

Σn

i=1

v(ci)Δt. Esta aproxima¸c˜ao ser´a cada vez melhor `a medida que Δt for cada

vez menor. Assim, temos que o valor exato do espa¸co percorrido ser´a dado pelo limite da soma acima, ou seja,

s(b) − s(a) = lim

n→∞

Σn

i=1

v(ci)Δt =

∫ b

a

v(t) dt =

∫ b

a

s

′

(t) dt .

Este resultado ´e o chamado teorema fundamental do calculo .

22.2 O teorema fundamental do calculo

A abordagem de Newton do problema do c´alculo de ´areas parece, `a primeira vista, paradoxal e consiste em substituir

o problema do c´alculo da ´area de uma regi˜ao fixa (figura `a esquerda) pelo c´alculo da ´area de uma regi˜ao vari´avel,