Transformadas de Fourier - Aplicação
Por: Ediane Cristina • 11/11/2018 • Trabalho acadêmico • 1.814 Palavras (8 Páginas) • 220 Visualizações
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS FRANCISCO BELTRÃO
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MÉTODOS MATEMÁTICOS APLICADOS
EDIANE CRISTINA DALEFFE SCALABRIN
MARLON HENRIQUE SCALABRIN
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
FRANCISCO BELTRÃO
2018
EDIANE CRISTINA DALEFFE SCALABRIN
MARLON HENRIQUE SCALABRIN
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
Trabalho apresentado à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, do Curso de Especialização em Métodos Matemáticos Aplicados da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Métodos Matemáticos Aplicados.
Professores:
Dr. Jeconias Rocha Guimarrães
Dra. Liliane Hellman
FRANCISCO BELTRÃO
2018
SUMÁRIO
1 APRESENTAÇÃO 4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1
2.1 Séries 1
2.2 Série de Fourier 1
2.3 Transformada de Fourier 2
2.4 Transformada Rápida de Fourier 3
3 DESENVOLVIMENTO 5
3.1 Problema 5
3.2 Questão proposta 6
3.3 Resultados Alcançados 6
4 REFERÊNCIAS 8
Apresentação
O presente relatório, tem como objetivo apresentar o detalhamento da metodologia utilizada para a resolução de um problema de cálculo diferencial e integral, de forma aplicada em área de conhecimento específica.
São detalhados o embasamento teórico e prático que envolve o problema matemático proposto, o problema em si, a metodologia proposta para a resolução bem como os resultados encontrados.
Este relatório vem por meio de complementar o estudo desenvolvido para apresentação de seminários durante as aulas de cálculo diferencial e integral, disciplina proposta na pós-graduação de métodos matemáticos aplicados, sendo sugerida a aplicação de um conteúdo tratado na disciplina em uma determinada área do conhecimento.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Séries
Em análise matemática, uma série é definida por um somatório de sequência de elementos que pode ser composta por funções fn(x), com índice variando de zero a infinito positivo, conforme equação 1 (Guidorizzi, 2002). Tais séries podem ser divergentes ou convergentes (Boulos & Abed, 2002).
(1)[pic 1]
Série de Fourier
A série de Fourier, criada por Jean Baptiste Joseph Fourier em 1807 e publicada em 1822, é uma forma de série de funções trigonométrica. A hipótese de Fourier é que, satisfeitas certas condições de periodicidade e domínio, é possível representar funções através de uma soma de senos e cossenos ponderados (coeficientes) (Ourique, ?). A equação 2 expressa a forma geral de uma série de Fourier.
(2)[pic 2]
Nesta equação nπ/L é o coeficiente angular e representa os múltiplos de uma frequência fundamental e os termos an e bn são os coeficientes (amplitudes) de cada frequência na composição da função a ser representada.
Onde os coeficientes de Fourier an e bn para a função f(x) são dados pelas equações 3, 4 e 5:
(3)[pic 3]
(4)[pic 4]
(5)[pic 5]
Segundo o teorema apresentado por Guidorizzi (2002) se f(x) contínua e periódica, com f(-π) = f(π), então a série de Fourier de f converge uniformemente em ℝ.
A representação da série de Fourier transfere a função para o domínio da frequência. A figura 1 representa a decomposição de um sinal (à esquerda) em diversas ondas (seno ou cosseno) de frequências múltiplas da frequência fundamental cada qual com uma diferente amplitude (representados à direita).
[pic 6]
Figura 1 - Transposição de uma função para o domínio da frequência usando Fourier.
Fonte: Adaptado de wikipedia[1]
Transformada de Fourier
Uma função não periódica é impossível de ser escrita como combinação linear de senos e cossenos harmonicamente relacionados, porém é possível escrevê-la como combinação linear de todos os senos e cossenos que existem, utilizando todas as frequências disponíveis (SILVA NETO, 2014), apresentado pela função (6).
(6)[pic 7]
onde w é o coeficiente angular, e eiwt é definido pela fórmula de Euler como eiwt = cos(wt) + i sen(wt).
Hoje, a FFT é uma importante técnica de computação, aplicada para compactação digital de imagens e som permitindo streaming rápido pela internet, cancelamento de ruído nos fones de ouvido, a caracterização de padrões de sinais ultrassônicos, etc (SILVA NETO, 2014) (VILLATE, 2011).
Transformada Rápida de Fourier
A transformada rápida de Fourier (do inglês Fast Fourier Transform - FFT) é um método eficiente de cálculo da transformada discreta de Fourier.
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