Transitórios em Circuitos RC

Escola de Engenharia

Departamento de Engenharia Química

LABORATÓRIO DE ELETROTÉCNICA

Relatório 3

Transitórios em Circuitos RC

Nome: Bárbara de Sousa Pinto

Professor: Cristiano Leite de Castro

Belo Horizonte

Abril de 2014

Introdução

Um capacitor é um elemento usado para armazenar energia elétrica. Assim como o resistor, é considerado um elemento passivo em um circuito. A carga q de um capacitor é dada por:

𝑞 = 𝐶×𝑣 (1)

onde a constante de proporcionalidade C é denominada capacitância com unidade 1 farad = 1F = 1 coulomb por volt = 1C/V . O valor de C depende somente da geometria das placas, sendo independente de q e v. A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser armazenada nas placas de um capacitor para produzir uma certa diferença de potencial. Quanto maior a capacitância maior a carga necessária.

O circuito da Figura 1 constituído por um resistor R em série com um capacitor C é denominado Circuito RC. Vamos estudar seu comportamento quando uma fonte de tensão contínua (vS) é introduzida/removida abruptamente. Quando se conecta a fonte de tensão e se faz uma análise qualitativa do comportamento do circuito nesta situação, podemos apontar os

seguintes aspectos:

 no instante de tempo inicial (t = 0), começa a circular uma corrente de intensidade 𝑖=𝑣𝑠𝑅 e 𝑣𝐶=0.

 a presença do capacitor no circuito faz com que as cargas comecem a se acumular em suas placas.

 a corrente i decai ao longo do tempo enquanto as cargas nas placas do capacitor vão aumentando assintoticamente até atingirem o valor final 𝑞 =𝐶×𝑣𝐶 ( condição de equilíbrio).

 na condição de equilíbrio, a corrente deixa de circular, i.e., i = 0.

Aplicando a LTK (Lei das Tensões de Kirchhoff) ao circuito quando a chave S encontra-se na posição a, a equação diferencial que determina o aumento de carga no capacitor em função do tempo é:

𝑣𝑆 + 𝑣𝑅 + 𝑣𝐶 = 0

𝑣𝑆 + 𝑅×𝑖 + 𝑞𝐶= 0

onde 𝑣𝑅 é a queda de tensão nos terminais do resitor R. Substituindo 𝑖 =𝑑𝑞𝑑𝑡 temos:

𝑅𝑑𝑞𝑑𝑡 + 𝑞𝐶= 𝑣𝑆 (2)

resolvendo (2) obtemos

𝑞 = 𝐶×𝑣𝑆×(1−𝑒−𝑡𝑅𝐶) (3)

Derivando (3) podemos obter i(t) da seguinte forma:

𝑖 = 𝑑𝑞𝑑𝑡=(𝑣𝑆𝑅) 𝑒−𝑡𝑅𝐶 (4)

A constante de tempo capacitiva 𝝉𝑪 é dada por:

𝜏𝐶 = 𝑅𝐶 (5)

de modo que a Expressão (3) pode ser reescrita como

𝑞 = 𝐶×𝑣𝑆×(1−𝑒−𝑡𝜏𝐶) (6)

Fazendo 𝑡 = 𝜏𝐶 na Expressão (6) tem-se que:

𝑞 = 𝐶×𝑣𝑆×(1−𝑒−1)=0.63×𝐶×𝑣𝑆 (7)

ou seja, a constante 𝜏𝐶 pode ser interpretada como o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja 63% do seu valor final. Quanto maior o valor de 𝜏𝐶, maior o tempo necessário para se carregar um capacitor.

Descarga do Capacitor: supondo agora que o capacitor esteja totalmente carregado, i.e., 𝑣𝐶= 𝑣𝑆 . Removendo a fonte acontece o processo de descarga do capacitor, q decai para zero, mas não de forma instantânea. Aplicando a LTK ao circuito RC na situação em que a chave S está em b, a equação diferencial que governa o processo de descarga do capacitor em função do tempo é descrita por:

𝑣𝑅 + 𝑣𝐶 = 0

𝑅𝑑𝑞𝑑𝑡 + 𝑞𝐶= 0

A solução desta equação diferencial nos leva a

𝑞 = 𝐶×𝑣𝐶×𝑒−𝑡𝜏𝐶= 𝑞0× 𝑒−𝑡𝜏𝐶 (8)

Com 𝑞0 = 𝐶×𝑣𝐶 sendo a carga inicial (em t = 0) do capacitor. Derivando a

Expressão (8) temos que:

𝑖 = 𝑑𝑞𝑑𝑡=−(𝑞0𝑅𝐶) 𝑒−𝑡𝜏𝐶 (9)

Com 𝑖0 = 𝑣𝐶𝑅 = 𝑞0𝑅𝐶. Nota-se que a carga q e a corrente i diminuem exponencialmente com o tempo a uma taxa que depende da constante de tempo capacitiva 𝜏𝐶. Quanto maior o valor de 𝜏𝐶, maior o tempo de descarga.

Objetivo

O objetivo da prática é o estudo da resposta transitória de circuitos RC.

Material

 Resistor de 21,6 KΩ

 Capacitor: 100nF

 Gerador de Sinal

 Osciloscópio

 Fios para ligação dos componentes

Procedimento e Resultados

Montou-se um circuito RC série conforme a Figura 1, utilizando R=21,6 KΩ e C=94,9 nF.

Figura 1: Circuito RC

a) Aplicou-se uma onda quadrada na entrada do circuito com amplitude 4Vpp (pico a pico) e

frequência f = 50,2Hz (Figura 2). Ajustou-se o osciloscópio de modo a visualizar as formas de onda

Vin e Vc(t),