UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA – EST

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA – EST

CÁLCULO IV

Resumo Expandido – Cap. I, II, III, IV e VII.

MANAUS - AM

2016

JOSÉ M. MARQUES H. JÚNIOR

(Matrícula - 1115120229)

                                                              

CÁLCULO IV

Turma (EQM04_T01)

Resumo Expandido Cap. I, II, III, IV e VII – Introdução Equações Diferenciais, Equações Diferenciais de Primeira Ordem, Modelos Matemáticos e métodos numéricos envolvendo equações de primeira ordem, Equações Lineares de segunda ordem e Transformadas de Laplace.

Trabalho apresentado na disciplina Cálculo IV, sob a orientação do Professor Rodrigo Tavares Teixeira da Universidade do Estado do Amazonas – UEA, para acompanhamento e verificação de nota referente à segunda avaliação.

MANAUS – AM

2016

SUMÁRIO

1.1 Equações diferenciais - Fundamentos        04

1.2 Soluções e problemas de valor Inicial        06

1.3 Campos de Direção e Método das Isóclinas        08

1.4 Métodos de Aproximação de Euler        10

2.1 Introdução: movimento de um corpo em queda        11

2.2 Equações Separáveis        12

2.3 Equações Lineares        14

2.4 Equações Exatas        15

2.5 Equações na forma dy/dx=G(ax+by)        17

2.6 Equações de Bernoulli        19

3.1 Modelagem Matemática        19

3.2 Análise Comportamental        20

3.3 Mecânica Newtoniana        20

3.4 Circuitos Elétricos        21

4.1 Introdução: O oscilador do tipo massa-mola        

4.2 Equações Lineares homogêneas: a solução geral        

4.3 Equações auxiliares com raízes complexas        

4.4 Equações não homogêneas: o método dos coeficientes indeterminados        

4.5 Equações com coeficientes variáveis        

4.6 Vibrações mecânicas livres e vibrações mecânicas forçadas        

5.1 Introdução: um problema de mistura        

5.2 Definição da transformada de Laplace        

5.3 Propriedades da transformada de Laplace        

5.4 Problemas de valor inicial        

5.5 Convolução        

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA        

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1. Equações Diferenciais - Fundamentos

As equações diferenciais possuem aplicações em diversas áreas do conhecimento, incluindo não somente as áreas exatas, como também distintas aplicações em economia, medicina, psicologia entre tantas outras. As equações diferenciais advêm de modelos matemáticos desenvolvidos para que as pessoas possam compreender fenômenos físicos que acontecem, e consistem em algumas derivadas de uma função desconhecida.

No que diz respeito à solução de uma equação diferencial, pode-se notar que será uma função e não apenas um número, desta forma também se pode constatar que não se pode esperar uma solução única para uma equação diferencial, pois haverá “constantes de integração” arbitrárias. Logo, sempre que tais modelos matemáticos desenvolvidos envolverem taxas de mudança de uma variável em relação à outra, uma equação diferencial tende a aparecer.

Seguindo este parâmetro, onde a derivada de uma variável em relação à outra, denomina-se a primeira de variável dependente e a segunda de variável independente.

Quanto ao envolvimento das derivadas, a equação é diferencial ordinária quando envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente, sendo esta também classificada em Linear (Variável dependente e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências) e não linear. Será uma equação diferencial parcial quando envolver derivadas parciais com relação a mais de uma variável independente.

Formato de uma equação diferencial linear

[pic 1]

Explanação de Exemplo:

[pic 2]

Este é um exemplo onde se tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, porém não linear, pois temos um termo .  Para facilitar o entendimento, poder-se ia reescrever esta equação detalhando todas as combinações aditivas.[pic 3]

[pic 4]

Observa-se que dentre os coeficientes existe um que é outra variável . Por esta razão ela é não linear, e de segunda ordem, pois se refere à ordem da derivada de mais alta ordem da equação.[pic 5]

Explanação de Exercícios

Classificar as equações diferenciais abaixo como equação diferencial ordinária (EDO) ou equação diferencial parcial (EDP), dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se a equação for diferencial ordinária, indique se a equação é linear ou não linear.

1.  [pic 6]

Solução: A equação (1) é uma diferencial ordinária (EDO), pois envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é y e a variável independente é x. É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes.  E por fim, é uma equação ordinária de segunda ordem com variável dependente y e variável independente x do tipo não linear. Pois observamos que existe o termo 2y com outra variável distinta que não a de x. A equação é denominada de equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico.