Uma teoria limitada com ênfase no cálculo dos limites das funções com base nas propriedades correspondentes

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.

Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.

O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.

Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS.

O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo  , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo  , tal que para

| x - x0 |  , se tenha |f(x) - L |   , para todo x  x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo:

lim f(x) = L

x x0

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Exercício:

Prove, usando a definição de limite vista acima, que:

lim (x + 5) = 8

x 3

Temos no caso:

f(x) = x + 5

x0 = 3

L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um  > 0 arbitrário, deveremos encontrar um  > 0, tal que,

para |x - 3| <  , se tenha |(x + 5) - 8| <  . Ora, |(x + 5) - 8| <  é equivalente a | x - 3 | < 

Portanto, a desigualdade |x - 3| <  , é verificada, e neste caso  =  .

Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x  3) .

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.

Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.

Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x  x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .

Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x  3.

Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x  3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x  x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite

de f(x) quando x  x0 .

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da

função f(x) para x  x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a

função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .

e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , ou x  x0 .

Se x tende para x0 , para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valores imediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x  x0 .

Propriedades operatórias dos limite.

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função.

lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.

lim (u . v) = lim u . lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.

lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v  0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( +  ) e menos infinito ( -  ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim , uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos +  e -  , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b  R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:

b + (+  ) = + 

b + ( -  ) = - 

(+  ) + (+