Vibrações Mecânicas

Construção de modelos de sistemas vibratórios

Introdução

O Sistema vibratório é composto por três elementos são eles:

Elementos de inércia: que é caracterizado por relação de força aplicada e a resposta de aceleração correspondente.

Elementos de rigidez: caracterizado entre uma força em relação a resposta em deslocamento correspondente.

Elementos de dissipação: é a relação entre uma força aplicada em relação a velocidade correspondente.

Elementos de inércia

A propriedade de inércia de uma massa em movimento rotacional é uma função da distribuição de massa especificadamente do momento de inércia da massa o mesmo é definido do centro da massa ou de um ponto físico.

A Oscilação de um ponto fixo ou ponto pivô O a inércia de rotação Jo é dada por:

Jo=Jg+md^2

M = massa

Jg = é o momento de inércia da massa

D = distância do centro de gravidade ao ponto O

Com base no princípio da quantidade do momento linear, a equação governante do movimento da massa é:

F_i=d/d_t (mx_i )

Ao qual, se m e j são independentes do tempo é simplificada para:

F=m.ϰ

Elementos de rigidez

Os elementos de rigidez são fabricados de vários materiais e possuem várias formas. Os tipos de elementos variam de acordo com o projeto.

Exemplos de elementos:

Mola;

Cabo de aço;

Os elementos de rigidez armazenam e liberam energia potencial de um Sistema. Esta energia é representada como:

V(x)= ∫_x^o▒〖Fs.dx 〗= ∫_x^0▒〖- Fj.dxj 〗= ∫_0^x▒Fdx

Onde utilizamos a identidade J.J= 1 e Fs = -Fj. Como a energia cinética T, a energia potencial V é uma função escalar.

Molas lineares

Se for aplicada a uma mola linear uma força F produzirá uma deflexão x de modo que:

F=K.x

Uma definição geral de energia potencial V assume forma

V_((x) )= ∫_(Posição deformada)^(posição inicial de referencia)▒→ F_s.D_x

Onde Fs é uma força conservative. O trabalho realizado por uma força conservative e independente do percurso entre as posições inicial e final.

V(x)= ∫_0^x▒Fdx

Molas Não Lineares

Os mesmos aparecem em muitas aplicações incluindo molas em laminas de suspenções de veículos e dispositivos microeletrônicos uniaxiais nos acionamentos eletrostático. A força elástica F(x) é uma função não linear da variável de deslocamento x. A expressão de um mola linear e um elemento de mola não linear cúbico, a relação força-deslocamento é expressa como:

F(x)=K.x + α.K.x^3

Elemento de Elemento de Mola não-linear

Mola linear

Onde α expressa o coeficiênte de rigidez do termo não linear de acordo com a constant elástica linear k.

Elementos de dissipação

Introdução

Elementos de amortecimento não possuem meios de armazenar ou liberar energia potencial.

Os movimentos aplicados nestes elementos convertem-se em calor ou som, desta forma são chamados não conservativos ou dissipativos pelo fato destas energias não serem recuperadas por sistema mecânico.

Existem quatro tipos de mecanismos de amortecimento utilizados, são estes:

Amortecimento Viscoso;

Amortecimento de Coulomb ou atrito seco;

Amortecimento material sólido ou histerético;

Amortecimento Fluído;

Tipos de amortecimento

Amortecimento Viscoso:

O fluído escoa através de uma fenda ou entrono de um pistão em um cilindro a força de amortecimento é proporcional a velocidade relativa entre duas superficies de limite que confinam o fluído. A mesma é expressa como:

F(x)=C.x ̇

A energia dissipada por um amortecimento viscoso linear é definida por:

Ed=∫▒Fdx=∫▒Fxdt=∫▒〖Cx^2 dt〗=C∫▒x^(2 ) dt

Amortecimento de Coulomb ou atrito seco:

É causado pela força gerada pelo atrito entre duas superficies sólidas, esta força deve ser oposta ao movimento.

F(x)= µNsgn(x ̇ )

onde sgn é a função sinal que assume o valor de +1 para valor positive e -1 para valores negativos.

A energia dissipada neste caso é dada por:

Ed= ∫▒〖F.d.x〗= ∫▒〖Fx ̇dt= μmg∫▒〖sgn(x ̇)(xdt) ̇ 〗〗

Amortecimento estrutural sólido ou histerético

Dá-se através de perdas de energia do material pelo atrito interno. Sua forma é:

F=K.π.B_h.sgh(x ̇)|x|

Onde Bh é uma contante determinada empiricamente. A energia dissipada é:

Ed=∫▒Fdx=∫▒〖Fx ̇dt〗=K.π.B_h ∫▒〖sgh (x ̇)|x|x ̇dt〗

Amortecimento Fluído

Dá-se a associação com um Sistema cuja a massa vibra em