O Arranjo Simples

ARRANJO SIMPLES

Dado n elementos distintos, consideremos a totalidade dos agrupamentos simples que é possível formar com os elementos, de modo que:

• cada agrupamento tenha p elementos (p ≤ n)
• dois agrupamentos diferem entre si pela natureza ou pela ordem dos elementos

Cada um desses agrupamentos chama-se arranjo simples ou, abreviadamente, arranjo dos n elementos p a p. O número total desses agrupamentos é representado por:

[pic 1]        ou   A n , p

        Suponha que uma pessoa possua 10 camisas. De quantas maneiras diferentes pode escolher as camisas para os 7 dias da semana? Note que, neste caso, ele não usará todas as camisas em uma semana.

        Há 10 escolhas para a camisa de domingo, 9 para a escolha da segunda-feira, 8 para a de terça-feira, ..., 4 escolhas para a camisa de sábado. O número total de escolhas é, pois,

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 604.800

        Seria conveniente podermos escrever esta longa expressão em uma forma mais concisa; vamos escrevê-la assim:

 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= [pic 2]

                                = [pic 3]

        O que estamos fazendo é escolher uma amostra de tamanho 7, sem reposição, de uma população de tamanho 10. É óbvio por que a amostragem é sem reposição: não estamos repondo a camisa na gaveta após usá-la. A amostragem sem reposição significa que, uma vez escolhido determinado elemento, ele não pode ser escolhido novamente.

        De modo geral, seja a escolha de p objetos, sem reposição, de uma população de n objetos. Então, há

 

                                         [pic 4]     [pic 5]

       

escolhas possíveis. Cada escolha dos objetos é chamado um arranjo dos mesmos; assim. A formula   [pic 6] dá o número de arranjos de n objetos tomados p de cada vez.

        O número de arranjos de n objetos tomados p de cada vez ( ou arranjos de n objetos p a p).

Podemos dizer também, arranjo com taxa p.

Exemplo:

1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 5, 7?

Do enunciado, temos: n = 4 e p = 2

        1º algarismo            2º algarismo

[pic 7][pic 8]

4 opções                 3 opções  

Pelo Princípio Multiplicativo: 4 x 3 = 12 possibilidades

[pic 9]  = A 4 ,2 = 12

13   15   17   31  35   37  51  53  57  71  73  75

1. De quantos modos 10 pessoas podem sentar-se em 4 cadeiras fixas?

Do enunciado, temos: n = 10 e p = 2

         1ª cadeira               2ª cadeira               3ª cadeira               4ª cadeira

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

         10 opções                9 opções                8 opções                7 opções  

Pelo Princípio Multiplicativo: 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 possibilidades

[pic 14]   = A 10 , 4 = 5.040

1. Uma sorveteria que possui 31 sabores de sorvete introduziu uma nova regra: não se permite duas bolas de mesmo sabor no mesmo copinho de sorvete. Quantas possibilidades há para se montar o sorvete com duas bolas?

Há 31 escolhas para o primeiro sabor, mas, agora, para o segundo sabor, há apenas 30 escolhas, o que nos dá pelo princípio multiplicativo 31 x 30 = 930 tipos de sorvete possíveis, ou seja:

1ª bola                                2ª bola

[pic 15][pic 16]

                         31 possibilidades                              30 possibilidades

[pic 17] = A31, 2 = [pic 18]= 31 x 30 = 930

1. Suponha que, em uma corrida de oito cavalos, você esteja tentando acertar a ordem de chegada dos três primeiros finalistas, sem nada saber sobre os cavalos. Qual a possibilidade de acertar?

[pic 19]

finais possíveis. Sua chance de indicar aleatoriamente a ordem correta é 1/336 = 0,003.