Ponto Flutuante - Calculo Numerico

1.Aritmetica de Ponto flutuante

Os números em ponto flutuante são muito utilizados para representar quantidades que não podem ser representados por inteiros, ou porque eles contem valores fracionários, ou porque eles são além da faixa que pode ser representada dentro da largura de bits do sistema. O iee754, um grupo formado por cientistas e engenheiros de diferentes empresas de computação realizaram um trabalho intenso na tentativa de encontrar um padrão de representação dos números, que deveria ser adotado por todas as indústrias na construção de seus computadores.  A Norma IEEE 754-2008 define os formatos adequados para representar números em ponto flutuante de precisão simples (32 bits) e de precisão dupla (64 bits). O formato de ponto flutuante de precisão simples (32 bits) consiste num bit de sinal (s), 8 bits de expoente (e) e uma mantissa de 23 bits (m). O bit de sinal (s) é 0 (zero) para números positivos e 1 para números negativos. O campo de expoente (e) corresponde à soma de 127 com o expoente de base 2 do número representado. O campo de mantissa (m) corresponde à parte fracionária da mantissa do número representado. Para que o número esteja de acordo com as normas, deve obedecer a seguinte configuração:

S M * 2E

Onde S é o sinal, M é a mantissa ou parte fracionaria, 2 é a base (binário) e E é o expoente. Deve ter a mesma forma utilizada em notação científica.

2.Sinal, Expoente e Mantissa

Sinal: define se o número é positivo ou negativo, ele é representado pelo bit mais significativo, ou seja, o primeiro bit da esquerda para a direita, onde o zero representa o sinal positivo, o sinal de +, já o n° 1 representa o sinal negativo, o sinal de -.

Expoente: define se o número vai ser inteiro ou fracionário, ele é representado pelos três números antes do sinal. Como que ele define isso? Através de uma tabela de excesso. A qual define o número de virgula que iremos andar.

Mantissa: define o número em binário que será transformado em decimal, ele é representado pelos últimos 4 bits.

3.Erros Absoluto e Relativo

Erro Absoluto: É a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado x:

EAx = x - [pic 1]

EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão.

Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (|E | < ε, onde ε é o limitante).

Ex.1: Para π ∈ (3,14, 3,15) E A π = π − π • 0 , 0 1

Ex. 2: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373 Considerando-se a parte inteira de a (a’) o erro absoluto será:

EAa = |a - a'|= 0,373

e a parte inteira de b, b’, o erro absoluto será:

EAb = |b - b'|= 0,373

Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo nos dois casos. Entretanto, o peso da aproximação em b é maior do que em a.

Erro Relativo: É o quociente do erro absoluto pelo valor aproximado:

ERx = EAx = x - [pic 2]
          [pic 3]        [pic 4]

Desse jeito o erro relativo pode traduzir perfeitamente o fato ocorrido no ex.2, pois mostra que a é representado com maior precisão do que b:

ERa = 0,373 ≅ 0,000096 ≤ 10 -4  
                 3876                                

ERb = 0,373 ≅ 0,373 ≤ 4 x 10-1
                     1

4.Erro de Arredondamento e Truncamento

Se um dado número x não tem representação finita na base numérica empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento.

Arredondamento:

Quase todo o cálculo numérico é realizado num computador ou numa calculadora. Como as máquinas têm capacidade finita para guardar informação conseguem apenas representar exatamente um número finito de números reais, cada um com um número fixo de dígitos (algarismos).

Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à exceção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto, para poderem ser representados na máquina) que é a aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.

Ex. 1: Cálculo utilizando uma calculadora digital:

Valor apresentado: 1,4142136

Valor real: 1,41421356...

Uma maneira de determinar se o arredondamento será por falta ou por excesso é somar meio na última casa decimal do número e abandonar as casas restantes.

Ex. 2: 0,003906.... = 0,003906+ 0,000005 = 0,00391

Truncamento:

O erro de truncamento está associado à quantidade de informação que a máquina pode conter sob a forma de um número. Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.

Em uma série de  Taylor S(x) =  o erro de truncamento de ordem N em ponto x,  é definido como a diferença entre o valor exato de S(x) e a soma dos N primeiros termos da série:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Ex. 1: A série de Taylor da função  f definida por f(x) = ex em torno de x=1 é expressa por:[pic 8]

Desejando -se calcular o valor de e1 utilizando-se os sete primeiros termos da série, tem-se:[pic 9]

Há um erro de truncamento, pois dos infinitos termos da série foram considerados apenas os sete primeiros.