A IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Revisão Distribuição Normal

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Distribuição Normal – Exemplos

lembre-se que     s= desvio padrão ;    µ= media;         n=  tamanho população

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IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

• Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não, cara ou coroa) quando n (numero de elementos da amostra) é grande.
• Retrata com boa aproximação, as distribuições de frequência de muitos fenômenos naturais e físicos.  

Curva normal típica

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Principais características da Curva Normal

• Para cada média e cada desvio-padrão existe uma curva diferente;
• No ponto mais alto da curva está a média;
• A curva é simétrica em  relação a média, o lado esquerdo é igual ao lado direito;
• A Curva é assintótica ao eixo x ;
• O desvio-padrão determina a largura da curva;
• A área total abaixo da curva é igual a 1 ou 100%.

• Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão positivo.  Esses dois parâmetros µ e s  determinam completamente o formato da curva normal.
• A média dá a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve o quanto os dados são estendidos

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Perceba que a curva A e a curva B têm a mesma média, e a curva B e a curva C têm o mesmo desvio padrão. A área total sob cada curva é 1 

Exercicio 1:

1. Qual curva normal abaixo tem uma média maior?
2. Qual curva normal abaixo tem um desvio padrão maior?
3. Qual é o valor  aproximado da media na curva A ?
4. Qual é o valor aproximado da media na curva B?

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EXERCICIO 2:

 Considere as curvas normais abaixo . Qual curva normal tem a média maior? Qual curva normal tem o desvio padrão maior? Justifique suas respostas.

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Distribuição Normal – Relembrando as Características

• A curva normal tem a forma de sino
• É simétrica em relação a média
• Prolonga-se de  - ∞  a  + ∞  (apenas em teoria) (assintótica)
• Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)
• A área total sob a curva é igual a 1 (considerada 100% em percentagem)
• A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos
• A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto

Ela apresenta a seguinte formula :

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Utilizaremos a curva Normal para calcular a probabilidade de uma variável aleatória X.. Esta probabilidade está representada na figura abaixo pela área entre os pontos a e b .

Esta área representa a probabilidade da variável aleatória x ocorrer entre os valores a e b. P(a

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P (a < x < b) = área hachurada sob a curva

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Distribuição Normal Padrão

Chamaremos de Distribuição Normal Padrão,  a distribuição que apresenta média  μ=0 e desvio padrão σ=1. A escala horizontal corresponde ao chamado escores z

Veja a figura a seguir

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Calculo do escore Z

O escore padrão, ou escore z, representa o número de desvios padrão que separa uma variável aleatória x da média.

Para transformar um valor de uma variável x em um escore z usamos a seguinte fórmula:

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EXERCICIO 3 :

As pontuações obtidas pelos candidatos  em um concurso público apresentam uma Distribuição Normal  com média de 152 e desvio

padrão de 7.

1. Esboce a curva normal destas pontuações obtidas pelos candidatos
2. Determine o valor do escore z para um candidato com pontuação de:

1. 161 pontos
2.  148 pontos
3.  152 pontos

Entendendo o escore Z

Se cada valor de dados de uma variável aleatória x normalmente distribuida for transformado em um escore z, o resultado será uma curva normal padrão. Podemos utilizar a curva normal padrão, o escore z e tabelas para obter valor das áreas (e  portanto probabilidades) sob qualquer curva normal.

Na curva Normal Padronizada a distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de vezes que ocorre o  escore z .Veja os desenhos ;

        

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No desenho acima  a curva Normal tem media igual a ________________  e desvio padrão igual a _______________,

Já a escala padronizada  apresenta media de zero o z escore será de:

Z= 1 para desvio padrão da curva  não padronizada igual a 110

Z= -1 para desvio padrão da curva  não padronizada igual a 90

Z= _____ para desvio padrão da curva  não padronizada igual a 80

Z= _____ para desvio padrão da curva  não padronizada igual a 130

Ora , sabemos que a área sob a curva Normal nos da a probabilidade de uma variável aleatório ocorrer , podemos utilizar  o escore Z  e CURVA NORMAL PADRONIZADA  (com a respectiva tabela de valores) para  calcularmos a probabilidade