AS TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO E CONJECTURA MATEMÁTICA

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Disciplina: Argumentação Matemática

RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS – TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO E CONJECTURA MATEMÁTICA

Um número real  é racional ⬄  inteiros  e  tal que  e [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

O conjunto numérico dos racionais é designado pela letra , para lembrar do “quociente’.[pic 8]

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Temos que, o zero é escrito da seguinte maneira:

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Logo, o zero é um número racional. Uma vez que:

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Representando o número racional como uma proporção de dois inteiros e supondo que  e sejam dois números racionais.[pic 12][pic 13]

Deve-se mostrar que o produto de  e  é racional.[pic 14][pic 15]

Pela definição de racional, temos:

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Para inteiros  com [pic 17][pic 18]

Por substituição e álgebra temos:

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Temos o produto de uma razão de dois inteiros, uma vez que o conjunto dos números inteiros é “fechado” para as operações de soma e multiplicação, sendo que [pic 20]

Logo, o produto de  e  é um número racional.[pic 21][pic 22]

De acordo com a demonstração proposta  na questão, temos que a variável  é usada em ambas as expressões, isto é, para caracterizar um número par e um número ímpar, o que acarreta em uma falsa ideia que a variável  assume o mesmo valor em ambas as expressões.[pic 23][pic 24]

Um número par é escrito da forma: [pic 25]

Na questão, temos que o número par vale .[pic 26]

Com isso:

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A expressão do número ímpar é: [pic 29]

Substituindo o valor de  na expressão do número ímpar tem-se:[pic 30]

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Com isso, não é possível mostrar que a soma  seria um número par.[pic 34]

O erro da demonstração consiste em admitir para ambas as expressões a mesma incógnita, acarretando em uma falsa interpretação que representa o mesmo valor.

O teorema acarretou em demonstrar que a soma de um número par com o seu sucesso, irá resultar em um número ímpar.

Gostaríamos que fosse mostrado que a soma de uma mistura de inteiros pares e impares é um inteiro que tem a mesma paridade que a quantidade de parcelas ímpares que foram somadas.

Definimos par e ímpar como:

 é par ⬄  um inteiro  tal que [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

 é ímpar ⬄  um inteiro  tal que [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Onde é inteiro para ambos.[pic 43]

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Chamando [pic 47]

Temos:

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Portanto, a soma de um número par mais um número ímpar resulta em um número ímpar.