Classificação de matrizes

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas [editar]

Matriz quadrada [editar]

Ver artigo principal: Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.

Vetor [editar]

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades [editar]

Tipo de matriz é quadrada? Tem inversa? Qual é sua transposta? Positiva/ negativa definida?

Matriz identidade In Sempre Sim, ela mesma: In Ela mesma, In (é uma matriz simétrica) Sempre é positiva definida

Matriz inversa Sempre Sim, e é igual à matriz original, Positiva definida se B for positiva definida

Matriz singular Sempre Nunca

Matriz simétrica Sempre Não necessariamente Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos 1

Matriz transposta Et Não necessariamente Não necessariamente E

Matriz positiva definida F Sempre Sim, e F-1 também é positiva definida Ft Sempre é positiva definida

Matriz negativa definida G Sempre Sim, e G-1 também é negativa definida1 Gt Sempre é negativa definida

Matriz identidade [editar]

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.

Matriz inversa [editar]

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz