Exercícios de Analise matemática com resposta

ANÁLISE MATEMÁTICA – SEQUÊNCIAS CONVERGENTES, LIMITADAS E CRESCENTES -  SÉRIE 3

Prof. Cida Coelho

Uma sequência {an} ou {an} é convergente quando existe  = L. Caso contrário dizemos que é divergente.[pic 1]

 

Exemplo: A sequência an =  é convergente pois existe o  = 1. A sequência an  = (- 1)n é divergente, pois an = {-1, 1, -1, 1,...}. Seus termos oscilam entre – 1 e 1 infinitamente, não se aproxima de nenhum número e seu limite não existe. [pic 2][pic 3]

Uma sequência {an} é limitada superiormente se existir um número M tal que an  M para todo n  1. O número M é denominado cota superior.[pic 4][pic 5]

É limitada inferiormente se existir um número m tal que  an  m para todo n  1. . O número m é denominado cota inferior. [pic 6][pic 7]

Cotas inferiores e superiores não são únicas.

Se ela for limitada superior e inferiormente, então  {an} é uma sequência limitada. Se não for limitada, dizemos que é ilimitada.

Uma sequência convergente é limitada.

Uma sequência ilimitada certamente diverge.

Uma sequência {an} é crescente se  an  an + 1 para todo n  1 e é decrescente se [pic 8][pic 9]

an   an + 1 para todo n  1. Uma sequência {an} é estritamente crescente se  [pic 10][pic 11]

an an + 1 para todo n  1 e é estritamente decrescente se an   an + 1 [pic 12][pic 13][pic 14]

para todo n  1. Em qualquer um desses casos ela é denominada monótona.[pic 15]

Exemplo:  A sequência an  = 1/n é  convergente, (converge para 0), decrescente e limitada , pois an = {1, 1/2, 1/3, 1/4,...}.

EXERCÍCIOS

1. Determine se as sequências seguintes convergem ou divergem. No primeiro caso, encontre seu limite.

1. an = [pic 16]

1. an  = [pic 17]

1. an = cos (n)[pic 18]

1. an = [pic 19]

1. an = 5 -[pic 20]

1. an = - 2- n

1. an =  (1/3)n

1. an = [pic 21]

1. an = cos n/2[pic 22]

1. an = [pic 23]

1. an = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5...}

1. Determine se as sequências seguintes são crescentes, decrescentes ou não monótonas e se são limitadas.

1. an =  (- 2)n + 1

1.     an = [pic 24]

1.     an =  n(- 1)n

      d)       an  = [pic 25]

      e)       an  = [pic 26]

      f)       an = [pic 27]

RESPOSTAS

a) Convergente – lim = 1/2

b) Convergente – lim = 5

c) Divergente

d)Convergente – lim = 3/2

e) Convergente – lim = 5

...