PROJETO DE CÁLCULO NUMÉRICO ZEROS DE FUNÇÕES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO[pic 1]

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

PROJETO DE CÁLCULO NUMÉRICO

ZEROS DE FUNÇÕES

Professor: Fernando Maciano de Paula Neto

Turma: T2

Grupo: Filipe Bílio Araújo

          Sarah Emanuelle Moraes Santos

 

 

Recife – PE

25 de Abril de 2019[pic 2]

Zeros de Funções

Resumo: Este projeto tem como objetivo fazer um estudo sobre os meios de encontrar raízes de funções reais através de métodos numéricos. Para tal, foi elaborado um programa em linguagem computacional C, a fim de encontrar o zero da raiz da função do tipo:

f (x) = a0×cos (a1×x) + a2×sen (a3×x) + e(a4×x) + a5;

Será recebido uma string contendo o método a ser utilizado (secante ou bisseção), os valores das constantes a0, a1, a2, a3, a4 e a5, número máximo de iterações, o erro associado (e1 e e2) e o intervalo a ser considerado, x0 e x1 para secante e [a ; b] para bisseção. A saída será, em suma, a raiz aproximada a cada iteração e a convergência do mesmo.

Palavras-chave: Raízes, Bisseção, Secante, Bolzano, Funções.        

1. Introdução

O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução dos mais variados problemas, tanto de engenharia como de outras ciências. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = F(x), requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais F(x) = 0.

Na prática, existem dois meios de se calcular as raízes de uma função, sendo elas a analítica (através de equações na forma de função) e a gráfica. Mas na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que possui uma solução analítica, então é adotado inicialmente o método gráfico para estimar as raízes, já que não pode ser feita a determinação da raiz com precisão com este método, deve-se utilizar um método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da raiz. Cada método numérico tem suas vantagens e desvantagens, por isso deve-se escolher qual método utilizar dependendo da situação, de modo a minimizar o erro.

---

2. Desenvolvimento

2.1 Teorema de Bolzano

Seja F é uma função contínua em um intervalo [a ; b] e troca de sinal nos extremos deste intervalo, isto é,  se F(a)*F(b) < 0, então existe pelo menos um ponto nesse intervalo [a ; b] onde a função é zero.

[pic 3]

Figura 1: Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano.

Se, além disso, F’ tiver sinal constante no intervalo [a ; b], ou seja, a função for sempre crescente ou decrescente nesse intervalo, existirá uma única raiz real de F nele, o qual será chamado de intervalo de separação.

2.2 Método da Bisseção

        Seja o Teorema de Bolzano verdadeiro, utilizaremos o método da Bisseção que tem como objetivo reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida:   |b – a| < Erro.

De forma reduzida o método pode se esquematizar de acordo com a seguinte tabela:

Considerando o intervalo inicial como: [a0 ; b0] = [a ; b]

Repetir :	1) xn+1= (an + bn) / 2   2) Se f (xn+1) f(an) < 0  Então an+1 = an ; bn+1 = xn+1  Senão an+1 = xn+1 ; bn+1 = bn
Até que :	f(xn+1) = 0 ou | xn+1 - xn| < Erro

                                Tabela 1: Método da bisseção.

É utilizado o critério de parada |xn+1-xn| < Erro, onde o valor Erro > 0 é um valor suficientemente pequeno para que a raiz encontrada tenha uma boa precisão.

Vale ressaltar também que o método não funciona se a função considerada apenas tangenciar o eixo x.

2.3 Método das Secantes

Este método é um algoritmo de busca de zeros de uma função que usa uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada vez melhor a raiz de uma função, pode-se considerar este método como uma “versão melhorada” do método de Newton pois o mesmo pode ter problemas de overflow quando a primeira derivada da função em estudo fica muito próxima de zero. Além da necessidade de se obter a derivada de F(x) e calcular o seu valor numérico a cada iteração, que em certas funções, pode consumir muito tempo de computação.

Calculada a partir de dois valores iniciais de [pic 4][pic 5] e [pic 6][pic 7] quaisquer, a função de iteração para o método da secante é demonstrada na Equação (1):

[pic 8]

(1)

[pic 9][pic 10]

Das duas aproximações iniciais [pic 11][pic 12] e [pic 13][pic 14] determina-se a reta que passa pelos pontos [pic 15][pic 16] e [pic 17][pic 18], a interseção desta reta com o eixo x fornece o ponto[pic 19][pic 20]; como ilustrado na Figura 2.

[pic 21]     

Figura 2: Interpretação geométrica da iteração 1 do Método das Secantes.