Notas de Aula de Cálculo I Para o Curso de Tecnólogo em Processos Químicos.

Notas de aula de Cálculo I para o curso de Tecnólogo em Processos Químicos.

Prof Kwasinski

Sumário

1) Os números reais                                                                                            1

    1.1  Considerações iniciais..............................................................................1

    1.2 A reta real e sua completude.....................................................................1

    1.3 Intervalos...................................................................................................3

2) Funções Reais                                                                                                7

    2.1 Introdução ao estudo das funções reais de variável real..........................7

   2.2 Representação gráfica de funções............................................................9

3) Limites                                                                                                           25

Prefácio

O presente trabalho é uma tentativa de se escrever um texto que seja útil para os alunos de um curso de tecnologia. Em especial, este tem uma preocupação em apresentar as primeiras idéias do cálculo diferencial e integral com uma linguagem não muito formal, mas sem perder de vista tal perspectiva.

     Entendemos que o fundamental em um primeiro curso é transmitir o conteúdo com uma abordagem acessível aos alunos, apelando, sempre que possível, para uma visão intuitiva dos conceitos abordados e, em seguida, aprofundar sua análise. O texto tem também uma diretiva que pressupõe ser este um curso dedicado aos alunos de processos industriais do CEFET Química e, portanto, seu contexto está mais concentrado na área de química (engenharia).

     Seus exercícios visam aproveitar a vivência dos alunos já com uma boa  formação na área da química com este poderosíssimo instrumento de matemática aplicada.

     Sendo assim, esperamos que este possa ser uma modesta contribuição para que o nosso curso venha a ter sucesso e seja uma referência em um futuro próximo, assim como são os nossos cursos de nível técnico em alimentos, biotecnologia, farmácia, meio-ambiente e química.

     Para finalizar, esperamos que nossos alunos que se utilizam deste material,  nos envie críticas e sugestões para que possamos cada vez mais melhorar esta obra, que desta forma será uma construção coletiva.

     Kwasinski.

     15 de abril de 2004

Capítulo 1

Os números reais

1. Considerações iniciais

Quando se planeja uma obra qualquer, em engenharia civil, a primeira coisa em que se pensa é no terreno em que se vai trabalhar, para em seguida passar aos alicerces.

     Desta forma, o nosso terreno, para a construção do conhecimento do cálculo, repousa no universo dos números reais que é onde tudo se passa. O objetivo é estudar as propriedades das funções reais de variável real e, para tanto, devemos começar com alguns aspectos essenciais que dizem respeito a esses números.

1. A reta real (reta graduada) e sua completude

O que vamos desenvolver nesta seção são os primeiros conceitos quando se estuda a  geometria de coordenadas.

     O que se faz é escolher a reta como modelo do continuum e apelar para sua geometria, visando uma alternativa para compreender as propriedades dos números reais.

     Na reta graduada a seguir, escolhemos um ponto para representar o número zero (0) e outro para representar o número 1.

 

[pic 1][pic 2]

     Isto feito, a qualquer ponto P da reta, corresponderá em número real “x” que chamamos de “a abscissa do ponto P”

     Assim procedendo, fica entendido que existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta [pic 3] e os números reais, isto é, a cada ponto de [pic 4] está correspondido um único número e vice-versa.

     Para entender a completude da reta, vamos nos reportar aos  números naturais  N = {0,1,2,3...} , os inteiros Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} e também aos Racionais. Os racionais em primeira análise, representam todas as frações, ou seja, os números que podemos admitir como o resultado da divisão entre dois números inteiros.

                                     Q = {x | x = [pic 5], p e q [pic 6] Z e q [pic 7]0}

      Ex.: [pic 8][pic 9] Q, [pic 10] [pic 11] Q, 0,3 [pic 12] Q, [pic 13] [pic 14] Q, [pic 15] [pic 16] Q, [pic 17][pic 18] Q, 0,[pic 19] [pic 20] Q  e [pic 21] [pic 22] Q.

Exemplo 1.1 Prove que: se a e b são números racionais quaisquer, também o são a+b, [pic 23] [pic 24] e [pic 25].

Exemplo 1.2 Prove que: se a < b, então o número racional [pic 26] é tal que a < [pic 27] < b. Este exemplo mostra que entre dois racionais quaisquer, existe sempre outro racional. Costuma-se dizer que os racionais, por possuírem tal propriedade, são densos em R( que definiremos mais adiante).