RECORDANDO CONCEITOS DO TEOREMA DE GAUSS

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE QUÍMICA FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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PROFESSORA: Drª FERNANDA FERREIRA FREITAS

RECORDANDO CONCEITOS DO TEOREMA DE GAUSS

Sabe que pelo Teorema de Gauss ou da Divergência, a integral de superfície de uma grandeza G qualquer pode ser relacionada com a integral de volume dessa mesma grandeza através da seguinte expressão

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Teorema de Gauss: transforma uma integral de volume em uma integral de superfície  e vice-versa.

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

1 – Introdução

È o ramo da mecânica dos fluidos que trata das relações de força que atuam em sistemas fluidos em repouso relativo às superfícies que os limitam. A estática dos fluidos se caracteriza pela ausência da transferência da quantidade de movimento.

No caso estático, o campo de forças pode ser o campo gravitacional e o equilíbrio de toda a massa é conseguido por esforços criados pelas paredes dos vasos que o contém e por esforços de tensão superficial.  OU AINDA:

• Por definição, um fluido deve deformar continuamente quando uma tensão de cisalhamento de qualquer magnitude for aplicada.
• Se o fluido estiver confinado, sem movimento relativo, dV/dx = 0 (nem deformação angular), não há tensão de cisalhamento.
• Fluidos em repouso, ou em movimento de “corpo rígido” (equilíbrio estático) só apresentarão tensões normais.

A pressão é definida como força normal exercida por um fluido por unidade de área. Só falamos em pressão qundo lidamos com gases ou líquidos. O equivalente da presão nos sólidos é a tensão normal.

2 – EQUAÇÃO DA ESTÁTICA DO FLUIDOS

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Para um fluido estático:  Fi=Fv= 0 e Fp = -Fc.  Sejam as forças de campo apenas a força gravitacional:  

A pressão é uma tensão normal que age sempre no sentido “para dentro “ do corpo

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Assim, percebe-se que há uma relação direta entre cada componente do vetor gravidade “g” com a variação da pressão na direção em que se encontra tal componente.  Nestes termos, se a escolha dos eixos coordenados for aleatória, o usuário poderá tornar a resolução do seu sistema complexo, conforme mostra a Figura 1:

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Na Situação (I), a Equação Fundamental da Estática dos Fluidos terá que ser resolvida em todas as suas componentes, ou seja, o usuário deverá enfrentar as três equações diferenciais parciais (Eq. 3, 4 e 5) com as suas devidas condições de contorno, posto que o eixo de coordenadas cartesianas foi escolhido de maneira aleatória. Segundo esta escolha, existirá, em relação ao eixo, todas componentes do vetor “g” atuando  conjuntamente sobre o sistema.

Todavia, se este mesmo eixo for escolhido de maneira mais conveniente, conforme a Situação (II), o usuário terá algumas  facilidades matemáticas, posto que o mesmo vetor “g” da Situação (I), terá apenas a componente na direção “z”, ou seja, “gz”. Por esta ótica, as componentes “gx” e “gy” serão nulas. Por conseguinte, a Equação Fundamental da Estática dos Fluidos que era uma equação diferencial parcial, torna-se a partir de então, numa equação diferencial ordinária de variáveis separáveis, cujas facilidades de  resolução dispensam maiores comentários.

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A equação da estática dos fluidos permite obter o campo de pressão dentro de um fluido. Seja o tanque abaixo. Calcule a pressão no ponto 2.

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                          g                     [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

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Isto quer dizer que P é constante em relação a x e a y e decresce com o aumento de z para um caso de fluido incompressível.

[pic 31], [pic 32]; [pic 33], se [pic 34]

[pic 35]; [pic 36], então: [pic 37]

Quanto maior z menor a pressão, ou seja, a pressão aumenta com a profundidade do fluido.  

A pressão em um fluido estático varia somente com a distância vertical e independe da forma do recipiente. Ela é a mesma em todos os pontos em um dado plano horizontal e aumenta com a profundidade no fluido.

Consideremos agora, um tanque cheio de fluido e aberto à pressão atmosférica local (P0). Neste tanque são feitos alguns furos, conforme está esquematizado na Figura abaixo. Pergunta-se:  Qual  dos  furos originará um jato com o maior alcance horizontal?

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Figura 2 – Tanque cheio de fluido com furos nas laterais

Pressão “P” não varia nas posições  “x”  nem  “y”.  Pode-se  afirmar  então,  que  pontos  no  interior  do  tanque  com  os mesmos  “x”  ou  “y”  possuem  a  mesma  pressão.  Assim, a partir da Equação Fundamental da estática dos flui

dos:

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De acordo com a solução da integral, quanto mais próximo à base do tanque, menor é a variável “z” e, portanto, maior é a pressão (quanto maior a coluna de fluido acima do ponto analisado, maior será a pressão no mesmo). Logo, pode-se concluir que o furo de nº 4 será o que terá o jato cujo alcance será o maior dentre todos.